Question

已知函數(shù)y=2x²-2ax+3在區(qū)間[-1，1]上的最小值是f（a）．
（1）求f（a）的解析式；
（2）討論函數(shù)φ（a）=log_0.5f（a）在 a∈[-2，2]時的單調(diào)性（不需證明）．

Answer 1

（1）當(dāng)

a

2

＜-1時，函數(shù)y=2x²-2ax+3在區(qū)間[-1，1]上是增函數(shù)，故當(dāng)x=-1時，函數(shù)取得最小值是  f（-1）=2a+5．
當(dāng)-1≤

a

2

≤-1時，由于函數(shù)y=2x²-2ax+3對稱軸是x=

a

2

，故當(dāng)x=

a

2

時，函數(shù)在區(qū)間[-1，1]上取得最小值是 f（

a

2

）=3-

a2

2

．
當(dāng)

a

2

≥1時，函數(shù)y=2x²-2ax+3在區(qū)間[-1，1]上是減函數(shù)，故當(dāng)x=1時，函數(shù)取得最小值是 f（1）=5-2a．
綜上可得 f（a）=

2a+5 ，  a＜-2 3- a2 2  ，   -2≤a≤2 5-2a ，  a≥2

．
（2）當(dāng)-2≤a≤0時，f（a）=3-

a2

2

在[-2，0]上是增函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)φ（a）=log_0.5f（a）在[-2，0]上是減函數(shù)．
同理可得，數(shù)φ（a）=log_0.5f（a）在[0，2]上是增函數(shù)．