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設f（x）是定于在（0，1）上的函數，且滿足：①對任意x∈（0，1），恒有f（x）＞0；②對任意x1，x2∈（0，1），恒有
f(x1)
f(x2)
+
f(1-x1)
f(1-x2)
≤2，則關于函數f（x）有：
（1）對任意x∈（0，1），都有f（x）＞f（1-x）；
（2）對任意x∈（0，1），都有f（x）=f（1-x）；
（3）對任意x∈（0，1），恒有f′（x）=0；
（4）當x∈（0，1），函數y=
f(x)
x
+x為減函數．
上述四個命題中正確的有______．
因為對任意x∈（0，1），恒有f（x）＞0，
所以令x1=x，x2=1-x，則
f(x)
f(1-x)
+
f(1-x)
f(x)
≥2
f(x)
f(1-x)
?
f(1-x)
f(x)
=2，
由②知
f(x)
f(1-x)
+
f(1-x)
f(x)
≤2，所以必有
f(x)
f(1-x)
+
f(1-x)
f(x)
=2，當且僅當
f(x)
f(1-x)
=
f(1-x)
f(x)
=1，即f（x）=f（1-x）時取等號，所以（1）錯誤，（2）正確．
（3）將②中的變量x1，x2，交換位置得
f(x2)
f(x1)
+
f(1-x2)
f(1-x1)
≤2，③，將②③相加得
f(x2)
f(x1)
+
f(1-x2)
f(1-x1)
+
f(x1)
f(x2)
+
f(1-x1)
f(1-x2)
≤4，
因為
f(x2)
f(x1)
+
f(x1)
f(x2)
≥2
f(x2)
f(x1)
?
f(x1)
f(x2)
=2，
f(1-x2)
f(1-x1)
+
f(1-x1)
f(1-x2)
≥2
f(1-x2)
f(1-x1)
?
f(1-x1)
f(1-x2)
=2，
所以
f(x2)
f(x1)
+
f(x1)
f(x2)
+
f(1-x2)
f(1-x1)
+
f(1-x1)
f(1-x2)
≥4，所以
f(x2)
f(x1)
+
f(x1)
f(x2)
+
f(1-x2)
f(1-x1)
+
f(1-x1)
f(1-x2)
=4，
當且僅當，
f(x2)
f(x1)
=
f(x1)
f(x2)
=1，
f(1-x2)
f(1-x1)
=
f(1-x1)
f(1-x2)
=1，取等號，所以f（x1）=f（x2），即對任意的變量x1，x2，都有所以f（x1）=f（x2），
所以f（x）為常數，所以f'（x）=0，所以（3）成立．
（4）因為f（x）為常數，所以設f（x）=c＞0，
所以y=
f(x)
x
+x=
c
x
+x，函數的導數為y'=1-
c
x2
，當x＞0時，由y'＜0得，0＜x＜
c
，所以函數在（0，
c
）上單調遞減，所以當c＜1時，函數y=
f(x)
x
+x為減函數不一定正確．
故正確的是（2）（3）．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

給定下列四個命題：
①“若a＞1且b＞1，則a+b＞2”的否命題為真命題；
②命題“p∨q為真”是命題“p∧q為真”的必要不充分條件；
③若loga
2
3
＜1，則a的取值范圍為a＞1或0＜a＜
2
3
；
④若實數x，y∈[-1，1]，則滿足x2+y2≥1的概率為
π
4

其中為假命題的是______（填上所有正確命題的序號）．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

給出下列結論：
①與圓x2+y2=1及圓x2+y2-8x+12=0都外切的圓的圓心在一個橢圓上．
②若直線y=kx-1與雙曲線x2-y2=4右支有兩個公共點，則k∈(1，
5
2
)．
③經過橢圓
x2
2
+y2=1的右焦點F作傾斜角為600的直線l交橢圓于A，B兩點，且|AF|＞|BF|，則
AF
=
9+3
2
7
FB
．
④拋物線y2=2x上的點P到直線y=x+4的距離的最小值為
7
2
4
．
其中正確結論的序號是______．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

關于函數f（x）=|x|x+bx+c，給出下列四個命題：其中正確的命題序號為______．
①b=0，c＞0時，f（x）=0只有一個實數根；
②c=0時，f（x）是奇函數；
③y=f（x）的圖象關于點（0，c）對稱；
④函數f（x）至多有兩個零點．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

（1）16的四次方根是±2；
（2）集合A={x|y=
x
}，B={y|y=2x2-1，x∈R}則A∩B=B；
（3）若|log3a|=|log3b|，且a≠b，a＞0，b＞0則ab=1；
（4）若函數f（x+1）是偶函數，則f（x）的圖象關于直線x=1對稱；
其中正確的序號是______$\end{array}$．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

原命題為：“若m，n都是奇數，則m+n是偶數”，其中原命題、逆命題、否命題、逆否命題中，其中真命題的個數是（　　）
A．0B．1C．2D．4

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

直線m、n和平面a、β．下列四個命題中，
①若m∥a，n∥a，則m∥n；
②若m?α，n?α，m∥β，n∥β，則α∥β；
③若α⊥β，m?α，則m⊥β；
④若α⊥β，m⊥β，m?α，則m∥α，
其中正確命題的個數是（　�。�
A．0B．1C．2D．3

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

下列判斷錯誤的是（　�。�
A．a，b，m為實數，則“am2＜bm2”是“a＜b”的充分不必要條件
B．命題“對任意x∈R，x3-x2-1≤0”的否定是“存在x∈R，x3-x2-1＞0”
C．若p且q為假命題，則p，q均為假命題
D．命題“若x=y，則sinx=siny”的逆否命題為真命題

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

設函數f（x）=lnx，有以下4個命題：
①對任意的x1、x2∈（0，+∞），有f(
x1+x2
2
)≤
f(x1)+f(x2)
2
；
②對任意的x1、x2∈（1，+∞），有f（x1）-f（x2）＜x2-x1；
③對任意的x1、x2∈（e，+∞），有x1f（x2）＜x2f（x1）；
④對任意的0＜x1＜x2，總有x0∈（x1，x2），使得f(x0)≤
f(x1)-f(x2)
x1-x2
．其中正確的是______（填寫序號）．

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同步練習冊答案