Question

對于給定數(shù)列{c_n}，如果存在實(shí)常數(shù)p，q使得c_n+1＝pc_n＋q對于任意n∈NN*都成立，我們稱數(shù)列{c_n}是“M類數(shù)列”．

(1)若a_n＝2n，b_n＝3·2ⁿ，n∈N^*，數(shù)列{a_n}、{b_n}是否為“M類數(shù)列”？若是，指出它對應(yīng)的實(shí)常數(shù)p，q，若不是，請說明理由；

(2)證明：若數(shù)列{a_n}是“M類數(shù)列”，則數(shù)列{a_n＋a_n+1}也是“M類數(shù)列”；

(3)若數(shù)列{a_n}滿足a₁＝2，a_n＋a_n+1＝3t·2ⁿ(n∈N^*)，t為常數(shù)．求數(shù)列{a_n}前2009項(xiàng)的和．并判斷{a_n}是否為“M類數(shù)列”，說明理由；

(4)根據(jù)對(2)(3)問題的研究，對數(shù)列{a_n}的相鄰兩項(xiàng)a_n、a_n+1，提出一個(gè)條件或結(jié)論與“M類數(shù)列”概念相關(guān)的真命題，并探究其逆命題的真假．

Answer 1

答案：
解析：

解：1)因?yàn)閍n＝2n則有an+1＝an＋2，n∈N* 　　故數(shù)列{an}是“M類數(shù)列”，對應(yīng)的實(shí)常數(shù)分別為1，2　　2分 　　因?yàn)閎n＝3·2n，則有bn+1＝2bn　n∈N* 　　故數(shù)列{bn}是“M類數(shù)列”，對應(yīng)的實(shí)常數(shù)分別為2，0　　4分 　　(2)證明：若數(shù)列{an}是“M類數(shù)列”，則存在實(shí)常數(shù)p，q， 　　使得an+1＝pan＋q對于任意n∈N*都成立， 　　且有an+2＝pan+1＋q對于任意n∈N*都成立　　6分 　　因此(an+1＋an+2)＝p(an＋an+1)＋2q對于任意n∈N*都成立， 　　故數(shù)列(an＋an+1)也是“M類數(shù)列”　　8分 　　對應(yīng)的實(shí)常數(shù)分別為p，2q　　9分 　　(3)因?yàn)閍n＋an+1＝3t·2n(n∈N*)則有a2＋a3＝3t·22，a4＋a5＝3t·24……， 　　a2006＋a2007＝3t·22006，a2008＋a2009＝3t·22008 　　故數(shù)列{an}前2009項(xiàng)的和 　　S2009＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋……＋(a2006＋a2007)＋(a2008＋a2009) 　　＝2＋3t·22＋3t·24＋……＋3t·22006＋3t·22008＝2＋t(22010－4)　　11分 　　若數(shù)列{an}是“M類數(shù)列”，則存在實(shí)常數(shù)p，q 　　使得an+1＝pan＋q對于任意n∈N*都成立， 　　且有an+2＝pan+1＋q對于任意n∈N*都成立， 　　因此(an+1＋an+2)＝p(an＋an+1)＋2q對于任意n∈N*都成立， 　　而an＋an+1＝3t·2n(n∈N*)，且an＋an+1＝3t·2n(n∈N*) 　　則有3t·2n+1＝3t·p2n＋2q對于任意n∈N*都成立，可以得到t(p－2)＝0，q＝0， 　　(1)當(dāng)p＝2，q＝0時(shí)，an+1＝2an，an＝2n，t＝1，經(jīng)檢驗(yàn)滿足條件． 　　(2)當(dāng)t＝0，q＝0時(shí)，an+1＝－an，an＝2(－1)n－1，p＝－1經(jīng)檢驗(yàn)滿足條件． 　　因此當(dāng)且僅當(dāng)t＝1或t＝0，時(shí)，數(shù)列{an}也是“M類數(shù)列”．對應(yīng)的實(shí)常數(shù)分別為2，0，或－1，0　　14分 　　(4)命題一：若數(shù)列{an}是“M類數(shù)列”，則數(shù)列{an－an+1}也是“M類數(shù)列”． 　　逆命題：若數(shù)列{an－an+1}是“M類數(shù)列”，則數(shù)列{an}也是“M類數(shù)列”． 　　當(dāng)且僅當(dāng)數(shù)列{an－an+1}是常數(shù)列、等比數(shù)列時(shí)，逆命題是正確的． 　　命題二：若數(shù)列{an}是等比數(shù)列，則數(shù)列{an＋an+1}、{an－an+1}、{an·an+1}、是“M類數(shù)列” 　　逆命題：若數(shù)列是“M類數(shù)列”則數(shù)列{an}是等比數(shù)列．逆命題是正確的． 　　命題三：若數(shù)列{an}是“M類數(shù)列”，則有． 　　逆命題：若，則數(shù)列{an}是“M類數(shù)列” 　　(1)若時(shí)逆命題是正確的． 　　(2)若時(shí)逆命題是正確的． 　　(命題給出2分，逆命題寫出2分，說明逆命題真假2分)