Question

正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知AB=2，E，F(xiàn)分別是D₁B，AD的中點，cos＜

DD1

，

CE

＞=

3

3

（1）以D為坐標原點，建立適當?shù)淖鴺讼�，求出E點的坐標；
（2）證明：EF是異面直線D₁B與AD的公垂線；
（3）求二面角D₁-BF-C的余弦值．

Answer 1

分析：（1）以D為原點，DA，DC，DD₁所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，設D₁（0，0，2m）（m＞0），由cos＜

CE

，

DD1

＞=

3

3

構造關于m的方程，可求出E點的坐標；
（2）分別求出向量

BD1

，

EF

，

AD

的向量坐標，進而利用向量垂直的充要條件，可證得

BD1

⊥

EF

，

EF

⊥

AD

，進而由E∈D₁B，F(xiàn)∈AD可得EF是AD與D₁B的公垂線
（3）求出平面FD₁B的一個法向量

n

，結合向量

DD1

為底面的法向量，代入向量夾角公式，可得二面角D₁-BF-C的余弦值．

解答：解：（1）以D為原點，DA，DC，DD₁所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，
則A、B、C的坐標分別為A（2，0，0）、B（2，2，0）、C（0，2，0）．
設D₁（0，0，2m）（m＞0），則E（1，1，m）．
∵

CE

=（1，-1，m），

DD1

=（0，0，2m）
∴cos＜

CE

，

DD1

＞=

2m2

2+m2•2m

=

2m2

2+m2 •2m

=

3

3

解得m=1
故E點坐標為（1，1，1）
證明：（2）由（I）可知，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁是棱長為2的正方體．
又∵FD=1，
∴F（1，0，0），
∴

BD1

=（-2，-2，2），

EF

=（0，-1，-1），

AD

=（-2，0，0）
∴

BD1

•

EF

=0+2-2=0，

EF

•

AD

=0+0+0=0
∴

BD1

⊥

EF

，

EF

⊥

AD

 
又∵E∈D₁B，F(xiàn)∈AD
∴故EF是AD與D₁B的公垂線
解：（3）設

n

⊥平面FD₁B，

n

=（x，y，z）
∴

n ⊥ D1F n ⊥ FB

，則

n • D1F =0 n • FB =0

又∵

D1F

=（1，0，-2），

FB

=（1，2，0）
∴

x-2z=0 x+2y=0

令z=1，則

n

=（2，-1，1）
則

DD1

與

n

所成角θ等于二面角D₁-FB-C的平面角，
cosθ=

| n • DD1 |

| n || DD1 |

=

2

6 •2

=

6

6

∴二面角D₁-BF-C的余弦值為

6

6

點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，空間坐標系，線線垂直的充要條件，其中建立空間坐標系，將二面角問題和直線垂直問題轉化為向量夾角和向量垂直問題是解答的關鍵．