Question

（09年西城區(qū)抽樣理）（14分）

   已知f是直角坐標(biāo)平面xOy到自身的一個(gè)映射，點(diǎn)在映射f下的象為點(diǎn)，記作.

設(shè)，,. 如果存在一個(gè)圓，使所有的點(diǎn)都在這個(gè)圓內(nèi)或圓上，那么稱這個(gè)圓為點(diǎn)的一個(gè)收斂圓. 特別地，當(dāng)時(shí)，則稱點(diǎn)為映射f下的不動(dòng)點(diǎn).

    (Ⅰ) 若點(diǎn)在映射f下的象為點(diǎn).

  1 求映射f下不動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)；

  2 若的坐標(biāo)為(1,2)，判斷點(diǎn)是否存在一個(gè)半徑為3的收斂圓，并說(shuō)明理由.

(Ⅱ) 若點(diǎn)在映射f下的象為點(diǎn),(2,3). 求證：點(diǎn)存在一個(gè)半徑為的收斂圓.

Answer 1

解析：（Ⅰ）1解：設(shè)不動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，

         由題意，得，解得，

         所以映射f下不動(dòng)點(diǎn)為.                        -------------------2分

2結(jié)論：點(diǎn)不存在一個(gè)半徑為3的收斂圓.

   證明：由，得，

   所以，

   則點(diǎn)不可能在同一個(gè)半徑為3的圓內(nèi)，

   所以點(diǎn)N^*)不存在一個(gè)半徑為3的收斂圓.     ------------------5分

 （Ⅱ）證明：由，得.                 

         由，得，                 ---------------7分

         所以，

         由，得，

         所以，                 ------------------9分

         即，

         由，得，同理，

         所以，

         所以數(shù)列N^*)都是公比為的等比數(shù)列，首項(xiàng)分別為 

     ，

         所以，

         同理可得.     ------------------12分

         所以對(duì)任意N^*，，

         設(shè)，則，

         所以，

         故所有的點(diǎn)都在以為圓心，為半徑的圓內(nèi)或圓上，

        即點(diǎn)存在一個(gè)半徑為的收斂圓.            ----------------14分