Question

如圖，已知橢圓的上頂點(diǎn)為A，直線y=-4交橢圓E于點(diǎn)B，C（點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)），點(diǎn)P在橢圓E上．
（1）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（6，4），求四邊形ABCP的面積；
（2）若四邊形ABCP為梯形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）若（m，n為實(shí)數(shù)），求m+n的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求B、C的坐標(biāo)，再利用四邊形ABCP的面積為三角形與梯形面積的和，即可得到結(jié)論；
（2）因?yàn)锳BCP為梯形分情況討論：①AP平行與BC；②AB平行于CP，則k_AB=k_CP，求出直線CP的方程，與橢圓方程聯(lián)立，即可求得P的坐標(biāo)；
（3）設(shè)P（x，y），根據(jù)（m，n為實(shí)數(shù)），可得x=6m+12n-6，y=9m-4，進(jìn)而可得m+n，利用三角換元，可求m+n的最大值．
解答：解：（1）將y=-4代入橢圓，可得x=±6，∴B（-6，-4），C（6，-4）
∴四邊形ABCP的面積為三角形與梯形面積的和
∴S_{四邊形ABCP}==78
（2）因?yàn)锳BCP為梯形分情況討論
①AP平行與BC，則y=5與A重合，所以舍；
②AB平行于CP，則k_AB==k_CP，
設(shè)直線CP的方程為y=x+C，代入（6，4）可得C=-13
∴直線CP的方程為y=x-13，
與橢圓，聯(lián)立消元可得5x²-78x+288=0
∴x=6或
代入直線CP的方程為y=x-13，可得y=-4或
∴P（）；
（3）設(shè)P（x，y），∵（m，n為實(shí)數(shù)），
∴（x+6，y+4）=m（6，9）+n（12，0）=（6m+12n，9m）
∴x=6m+12n-6，y=9m-4
∴m=，n=
∴m+n=
令x=10cosθ，y=5sinθ，∴m+n=cosθ-sinθ+=cos（θ+α）+，所以最大值為+，
∴m+n的最大值為+．
點(diǎn)評(píng)：本題考查四邊形面積的計(jì)算，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是確定坐標(biāo)之間的關(guān)系，屬于中檔題．