Question

4．已知A、B分別是橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右頂點、上頂點，過左焦點F₁作PF₁⊥x軸，與橢圓在x軸上方的交點為P，且OP∥AB．
（1）求橢圓的離心率；
（2）設(shè)Q是橢圓上任意一點，F(xiàn)₂是右焦點，求∠F₁QF₂的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，當QF₂⊥AB時，延長QF₂交橢圓另一點M，若△F₁MQ面積為20$\sqrt{3}$，求此時橢圓的方程．

Answer 1

分析 （1）把x=-c代入橢圓方程可得：$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，解得y．取P$（-c，\frac{^{2}}{a}）$．利用OP∥AB，可得k_OP=k_AB．化簡即可得出．
（2）利用余弦定理與基本不等式的性質(zhì)可得：Q點取短軸的一個端點時，∠F₁QF₂取得最大值．即可得出∠F₁QF₂的取值范圍．
（3）k_AB=$-\frac{\sqrt{2}}{2}$，QM⊥AB，可得k_QM=$\sqrt{2}$，可得直線QM的方程為：y=$\sqrt{2}$（x-c），設(shè)Q（x₁，y₁），M（x₂，y₂）．與橢圓方程聯(lián)立化為：5x²-8cx+2c²=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得：|QM|=$\sqrt{3[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$．點F₁到直線QM的距離d．利用${S}_{△{F}_{1}QM}$=$\frac{1}{2}|QM|d$，解得c即可得出．

解答 解：（1）把x=-c代入橢圓方程可得：$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，解得y=$±\frac{^{2}}{a}$．取P$（-c，\frac{^{2}}{a}）$．
∴k_OP=-$\frac{^{2}}{ac}$，
又k_AB=$-\frac{a}$，OP∥AB．
∴k_OP=k_AB．
∴-$\frac{^{2}}{ac}$=$-\frac{a}$，
化為b=c．
∴c²=b²=a²-c²，
解得a=$\sqrt{2}$c．
∴橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（2）設(shè)|QF₁|=m，|QF₂|=n，m+n=2a，
∴$2a≥2\sqrt{mn}$，化為$\frac{1}{mn}$≥$\frac{1}{{a}^{2}}$，當且僅當m=n=a時取等號．
cos∠F₁QF₂=$\frac{{m}^{2}+{n}^{2}-（2c）^{2}}{2mn}$=$\frac{（m+n）^{2}-2mn-4{c}^{2}}{2mn}$=$\frac{2^{2}}{mn}-1$≥$\frac{2^{2}}{{a}^{2}}$-1，
∴Q點取短軸的一個端點時，∠F₁QF₂取得最大值．
∵b=c，∴∠F₁QF₂取得最大值90°．
∴∠F₁QF₂的取值范圍是（0°，90°]．
（3）∵k_AB=$-\frac{\sqrt{2}}{2}$，QM⊥AB，
∴k_QM=$\sqrt{2}$，
可得直線QM的方程為：y=$\sqrt{2}$（x-c），設(shè)Q（x₁，y₁），M（x₂，y₂）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{2}（x-c）}\\{\frac{{x}^{2}}{2{c}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{c}^{2}}=1}\end{array}\right.$，化為：5x²-8cx+2c²=0，
∴x₁+x₂=$\frac{8c}{5}$，x₁x₂=$\frac{2{c}^{2}}{5}$．
∴|QM|=$\sqrt{3[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\frac{6\sqrt{2}c}{5}$．
點F₁到直線QM的距離d=$\frac{2\sqrt{2}c}{\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}+1}}$=$\frac{2\sqrt{6}c}{3}$．
∴${S}_{△{F}_{1}QM}$=$\frac{1}{2}|QM|d$=$\frac{1}{2}×$$\frac{6\sqrt{2}c}{5}$×$\frac{2\sqrt{6}c}{3}$=20$\sqrt{3}$．
解得c=5．
∴此時橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{50}+\frac{{y}^{2}}{25}$=1．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交弦長問題、相互平行的直線斜率之間的關(guān)系、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系、三角形面積計算公式、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．