Question

已知函數(shù)y=f（x），若存在x₀，使得f（x₀）=x₀，則x₀稱是函數(shù)y=f（x）的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，設(shè)f(x)=

-2x+3

2x-7

．
（1）求函數(shù)y=f（x）的不動(dòng)點(diǎn)；
（2）對(duì)（1）中的二個(gè)不動(dòng)點(diǎn)a、b（假設(shè)a＞b），求使

f(x)-a

f(x)-b

=k•

x-a

x-b

恒成立的常數(shù)k的值；
（3）對(duì)由a₁=1，a_n=f（a_n-1）定義的數(shù)列{a_n}，求其通項(xiàng)公式a_n．

Answer 1

分析：（1）設(shè)函數(shù)y=f（x）的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)為x₀，然后根據(jù)不動(dòng)點(diǎn)的定義建立方程，解之即可；
（2）由（1）可知a=3，b=

1

2

，代入

f(x)-a

f(x)-b

=k•

x-a

x-b

可求出常數(shù)k的值；
（3）由（2）可知數(shù)列{

an-3

an+ 1 2

}是以

a1-3

a1+ 1 2

為首項(xiàng)，8為公比的等比數(shù)列，然后求出通項(xiàng)，即可求出數(shù)列{a_n}的 通項(xiàng)公式．

解答：解：（1）設(shè)函數(shù)y=f（x）的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)為x₀，
則

-2x0+3

2x0-7

=x0，解得x0=-

1

2

，x0=3
（2）由（1）可知a=3，b=-

1

2

，

-2x+3 2x-7 -3

-2x+3 2x-7 + 1 2

=

-8x+24

-x- 1 2

=8•

x-3

x+ 1 2

可知使

f(x)-a

f(x)-b

=k•

x-a

x-b

恒成立的常數(shù)k=8．
（3）由（2）知

an-3

an+ 1 2

=8

an-1-3

an-1+ 1 2

可知數(shù)列{

an-3

an+ 1 2

}是以

a1-3

a1+ 1 2

為首項(xiàng)，8為公比的等比數(shù)列
即以-

4

3

為首項(xiàng)，8為公比的等比數(shù)列．則

an-3

an+ 1 2

=-

4

3

•8n-1
∴an=

3- 1 2 • 4 3 •8n-1

1+ 4 3 •8n-1

=

9-2•8n-1

3+4•8n-1

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)恒成立問(wèn)題，以及等比數(shù)列求通項(xiàng)，同時(shí)考查了前后問(wèn)題之間的聯(lián)系，屬于中檔題．