Question

9．若$|\overrightarrow{OA}|=1$，$|\overrightarrow{OB}|=4$，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=2$，$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OC}$，則△ABC的面積是．

• A． 1
• B． 2
• C． $\sqrt{3}$
• D． $2\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由于$|\overrightarrow{OA}|=1$，$|\overrightarrow{OB}|=4$，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=2$，利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)可得：∠AOB=$\frac{π}{3}$．再利用△ABC的面積S=$\frac{1}{2}|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB}|sin\frac{π}{3}$即可得出．

解答 解：∵$|\overrightarrow{OA}|=1$，$|\overrightarrow{OB}|=4$，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=2$，
∴1×4×cos∠AOB=2，
∴cos∠AOB=$\frac{1}{2}$，
∴∠AOB=$\frac{π}{3}$．
∴△ABC的面積S=$\frac{1}{2}|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB}|sin\frac{π}{3}$
=$\frac{1}{2}×1×4×\frac{\sqrt{3}}{2}$
=$\sqrt{3}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形面積計(jì)算公式、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．