Question

已知集合A={（x，y）|x²+y²-4x-14y+45＜0}，B={（x，y）|y＞|x-m|+7}．
（1）若A∩B≠∅，求m的取值范圍；
（2）若點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（m，7），且Q∈A，集合A，B所表示的兩個(gè)平面區(qū)域的邊界交于點(diǎn)M，N，求△QMN的面積的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：集合關(guān)系中的參數(shù)取值問題

專題：數(shù)形結(jié)合,直線與圓,集合

分析：對(duì)于（1），集合A表示不含邊界的圓面，集合B表示一個(gè)角內(nèi)部，只要兩個(gè)圖形沒有交點(diǎn)即可
對(duì)于（2），將三角形△QMN的面積用函數(shù)表示出來求面積的最大值即可．

解答： 解：（1）因?yàn)锳={（x，y）|x²+y²-4x-14y+45＜0}，表示以C（2，7）為圓心的圓，
B={（x，y）|y＞|x-m|+7}，表示兩射線組成的區(qū)域，如圖（上）
  由射線y=x-m+7（m＜2）與圓C相切，d=

|2-7-m+7|

2

=2

2

，得m=-2
同理，射線y=-x+m+7（m＞2）與圓相切，得m=6
要使A∩B≠∅，只要m≤-2，或m≥6即可．
故m的取值范圍是（-∞，-2]∪[6，+∞）
（2）設(shè)|QN|=n，|QM|=m．∵QM⊥QN，∴△QMN的面積S=

1

2

mn，如圖（下），
設(shè)|QC|=a，則Q到QN，QM的距離均為

2

2

a，
∴|QM|=

R2- a2 2

+

2

2

a，|QM|=

R2- a2 2

-

2

2

a，R²=8，
∴S=

1

2

mn=

1

2

（R²-a²）=

1

2

（8-a²）≤4
 故△QMN面積的最大值是4．

點(diǎn)評(píng)：本題借助集合考查了直線與圓的位置關(guān)系，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合 的數(shù)學(xué)思想．屬于中檔題．