Question

選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在極坐標(biāo)系中，O為極點(diǎn)，已知圓C的圓心為(2，

π

3

)，半徑r=1，P在圓C上運(yùn)動(dòng)．
（I）求圓C的極坐標(biāo)方程；
（II）在直角坐標(biāo)系（與極坐標(biāo)系取相同的長度單位，且以極點(diǎn)O為原點(diǎn)，以極軸為x軸正半軸）中，若Q為線段OP的中點(diǎn)，求點(diǎn)Q軌跡的直角坐標(biāo)方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先設(shè)圓上任一點(diǎn)坐標(biāo)為（ρ，θ），由余弦定理得出關(guān)于ρ，θ的關(guān)系式，即為所求圓的極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）設(shè)Q（x，y）則P（2x，2y），根據(jù)P在圓上，即可Q的直角坐標(biāo)方程．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)圓上任一點(diǎn)坐標(biāo)為（ρ，θ），由余弦定理得12=ρ2+22-2•2ρcos(θ-

π

3

)
所以圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2-4ρcos(θ-

π

3

)+3=0…（5分）
（Ⅱ）圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2-4ρcos(θ-

π

3

)+3=0可化成直角坐標(biāo)方程為：
(x-1)2+(y-

3

)2=

1

4

設(shè)Q（x，y）則P（2x，2y），P在圓上，
∴(2x-1)2+(2y-

3

)2=

1

4

，
則Q的直角坐標(biāo)方程為(x-

1

2

)2+(y-

3

2

)2=

1

4

…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化，能在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)刻畫點(diǎn)的位置，體會(huì)在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中刻畫點(diǎn)的位置的區(qū)別，能進(jìn)行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化，以及利用圓的幾何性質(zhì)計(jì)算圓心到直線的距離等基本方法，屬于基礎(chǔ)題．