Question

某班學(xué)生參加科普知識競賽，成績的頻率分布直方圖如圖，數(shù)據(jù)的分布組依次為[50，70），[70，90），[90，110），[110，130），[130，150），已知成績低于90分的學(xué)生人數(shù)為10人．
（1）求成績不低于130分的學(xué)生人數(shù)n；
（2）成績不低于130分的這n名學(xué)生，繼續(xù)選擇甲、乙兩組題目進行表演賽，約定：每人通過擲一枚質(zhì)地均勻的骰子決定自己去選擇哪組題目，擲出點數(shù)位1或2的人選擇甲組，擲出點大于2的人選擇乙組題目．
（Ⅰ）求這n名同學(xué)中恰有2人選擇甲組題目的概率；
（Ⅱ）用X，Y分別表示這n名同學(xué)中選擇甲、乙組題目的人數(shù)，記ξ=|X-Y|，求隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,頻率分布直方圖,古典概型及其概率計算公式

專題：綜合題,概率與統(tǒng)計

分析：（1）求出績低于90分的學(xué)生的頻率，利用成績低于90分的學(xué)生人數(shù)為10人，可得參加科普知識競賽的人數(shù)，求出成績不低于130分的頻率，即可得出結(jié)論；
（2）（Ⅰ）求出每個人去參加甲游戲的概率，去參加乙游戲的人數(shù)的概率．設(shè)“這4個人中恰有i人去參加甲游戲”為事件A_i（i=0，1，2，3，4），故P（A₂）=

C

2 4

(

1

3

)2(

2

3

)2，由此能求出這4個人中恰有2人去參加甲游戲的概率．
（Ⅱ）ξ的所有可能取值為0，2，4，由于A₁與A₃互斥，A₀與A₄互斥，求出相應(yīng)的概率，可得ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（1）成績低于90分的學(xué)生的頻率為（0.0075+0.005）×20=0.25，
∵成績低于90分的學(xué)生人數(shù)為10人，
∴參加科普知識競賽共有

10

0.25

=40人，
成績不低于130分的頻率為1-（0.02+0.0125+0.0075+0.005）×20=0.1，
∴成績不低于130分的學(xué)生人數(shù)n=0.1×40=4人；
（2）（Ⅰ）依題意，這4個人中，每個人去參加甲游戲的概率為

1

3

，去參加乙游戲的人數(shù)的概率為

2

3

．
設(shè)“這4個人中恰有2人去參加甲游戲”為事件A_i（i=0，1，2，3，4），
∴這4個人中恰有2人去參加甲游戲的概率為P（A₂）=

C

2 4

(

1

3

)2(

2

3

)2=

8

27

．
（Ⅱ）ξ的所有可能取值為0，2，4，由于A₁與A₃互斥，A₀與A₄互斥，
故P（ξ=0）=P（A₂）=

8

27

，
P（ξ=2）=P（A₁）+P（A₃）=

40

81

，
P（ξ=4）=P（A₀）+P（A₄）=

17

81

，
∴ξ的分布列是

ξ	0	2	4
P	8 27	40 81	17 81

數(shù)學(xué)期望Eξ=0×

8

27

+2×

40

81

+4×

17

81

=

148

81

．

點評：本題考查概率知識的求解，考查頻率分布直方圖，考查互斥事件的概率公式，考查離散型隨機變量的分布列與期望，屬于中檔題．