Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-2x+lnx．
（Ⅰ）若f（x）無(wú)極值點(diǎn)，但其導(dǎo)函數(shù)f'（x）有零點(diǎn)，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)，求a的取值范圍，并證明f（x）的極小值小于．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）首先，x＞0利用f′（x）有零點(diǎn)而f（x）無(wú)極值點(diǎn)，表明該零點(diǎn)左右f′（x）同號(hào)，故△=0．由此可得即可；
（Ⅱ）先由題意，2ax²-2x+1=0有兩不同的正根，故△＞0，解得：，再設(shè)2ax²-2x+1=0的兩根為x₁，x₂，不妨設(shè)x₁＜x₂，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，從而得出證明．
解答：解 （Ⅰ）首先，x＞0
f′（x）有零點(diǎn)而f（x）無(wú)極值點(diǎn)，表明該零點(diǎn)左右f′（x）同號(hào)，故a≠0，且2ax²-2x+1=0的△=0．由此可得
（Ⅱ）由題意，2ax²-2x+1=0有兩不同的正根，故△＞0，a＞0．
解得：
設(shè)2ax²-2x+1=0的兩根為x₁，x₂，不妨設(shè)x₁＜x₂，
因?yàn)樵趨^(qū)間（0，x₁），（x₂，+∞）上，f′（x）＞0，
而在區(qū)間（x₁，x₂）上，f′（x）＜0，故x₂是f（x）的極小值點(diǎn)．
因f（x）在區(qū)間（x₁，x₂）上f（x）是減函數(shù)，如能證明，則更有
由韋達(dá)定理，，
令，其中設(shè)，
利用導(dǎo)數(shù)容易證明g（t）當(dāng)t＞1時(shí)單調(diào)遞減，而g（1）=0，
∴g（t）=lnt- t+＜0，
因此f（）＜-，
從而有f（x）的極小值f（x₂）＜-．
點(diǎn)評(píng)：解決本題時(shí)要注意題目中所應(yīng)用的函數(shù)的思想，要使的函數(shù)無(wú)極值點(diǎn)，表明該零點(diǎn)左右f′（x）同號(hào)即可，這種思想經(jīng)常用到．