Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，對(duì)一切n∈N^*，點(diǎn)都在函數(shù)的圖象上．
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃及數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（Ⅱ）將數(shù)列{a_n}依次按1項(xiàng)、2項(xiàng)、3項(xiàng)、4項(xiàng)循環(huán)地分為（a₁），（a₂，a₃），（a₄，a₅，a₆），（a₇，a₈，a₉，a₁₀）；（a₁₁），（a₁₂，a₁₃），（a₁₄，a₁₅，a₁₆），（a₁₇，a₁₈，a₁₉，a₂₀）；（a₂₁），…，分別計(jì)算各個(gè)括號(hào)內(nèi)各數(shù)之和，設(shè)由這些和按原來(lái)括號(hào)的前后順序構(gòu)成的數(shù)列為{b_n}，求b₅+b₁₀₀的值；
（Ⅲ）令（n∈N^*），求證：2≤g（n）＜3．

Answer 1

【答案】分析：（I）由題意因?yàn)辄c(diǎn)在函數(shù)的圖象上，所以可以求出，由此猜想：a_n=2n，利用數(shù)學(xué)歸納法即可求證；
（II）因?yàn)閍_n=2n（n∈N^*），所以數(shù)列{a_n}依次按1項(xiàng)、2項(xiàng)、3項(xiàng)、4項(xiàng)循環(huán)地分為（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），每一次循環(huán)記為一組．由于每一個(gè)循環(huán)含有4個(gè)括號(hào)，故b₁₀₀是第25組中第4個(gè)括號(hào)內(nèi)各數(shù)之和．由分組規(guī)律知，由各組第4個(gè)括號(hào)中所有第1個(gè)數(shù)組成的數(shù)列是等差數(shù)列，且公差為20，同理，由各組第4個(gè)括號(hào)中所有第2個(gè)數(shù)、所有第3個(gè)數(shù)、所有第4個(gè)數(shù)分別組成的數(shù)列也都是等差數(shù)列，且公差均為20，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可；
（III）由（I）中知a_n=2n，∴，當(dāng)n=1時(shí)，f（1）=2∈[2，3）；n≥2時(shí)，，利用二項(xiàng)式定理進(jìn)行適當(dāng)放縮即可得證．
解答：解：（I）因?yàn)辄c(diǎn)在函數(shù)的圖象上，
故，所以．令n=1，得，所以a₁=2；
令n=2，得，a₂=4；令n=3，得，a₃=6．
由此猜想：a_n=2n．
用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：
①當(dāng)n=1時(shí)，有上面的求解知，猜想成立．
②假設(shè)n=k（k≥1，k∈N^*）時(shí)猜想成立，即a_k=2k成立，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，注意到（n∈N^*），
故，．
兩式相減，得，所以a_k+1=4k+2-a_k．
由歸納假設(shè)得，a_k=2k，故a_k+1=4k+2-a_k=4k+2-2k=2（k+1）．
這說(shuō)明n=k+1時(shí)，猜想也成立．
由①②知，對(duì)一切n∈N^*，a_n=2n成立．
（II）因?yàn)閍_n=2n（n∈N^*），所以數(shù)列{a_n}依次按1項(xiàng)、2項(xiàng)、3項(xiàng)、4項(xiàng)循環(huán)地分為（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），．
每一次循環(huán)記為一組．由于每一個(gè)循環(huán)含有4個(gè)括號(hào)，故b₁₀₀是第25組中第4個(gè)括號(hào)內(nèi)各數(shù)之和．由分組規(guī)律知，由各組第4個(gè)括號(hào)中所有第1個(gè)數(shù)組成的數(shù)列是等差數(shù)列，且公差為20．
同理，由各組第4個(gè)括號(hào)中所有第2個(gè)數(shù)、所有第3個(gè)數(shù)、所有第4個(gè)數(shù)分別組成的數(shù)列也都是等差數(shù)列，且公差均為20．
故各組第4個(gè)括號(hào)中各數(shù)之和構(gòu)成等差數(shù)列，且公差為80．
注意到第一組中第4個(gè)括號(hào)內(nèi)各數(shù)之和是68，
所以b₁₀₀=68+24×80=1988．又b₅=22，所以b₅+b₁₀₀=2010；
（III）有（I）中知a_n=2n，∴，
當(dāng)n=1時(shí)，f（1）=2∈[2，3）；
當(dāng)n≥2時(shí)，
顯然
而（k≥2）．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了利用數(shù)學(xué)歸納法求解并進(jìn)行證明數(shù)列的通項(xiàng)公式，還考查了學(xué)生的理解題意綜合能力，尤其考查了利用二項(xiàng)式定理及不等式的放縮的能力，屬于數(shù)學(xué)習(xí)題中的難題及拔高題．