Question

如圖所示，在四面體P-ABC中，PA⊥BC，PB⊥AC，BC=2，PB=PC，P-BC-A是60°的二面角．
（1）求證：PC⊥AB；
（2）求四面體P-ABC的體積．

Answer 1

（1）證明：作PO⊥面ABC于O，連接AO、BO．
因為PA⊥BC，
所以AO⊥BC，PB⊥AC，BO⊥AC，
故O是△ABC的垂心．
連接CO，有CO⊥AB，
∵，
∴AB⊥面POC，
∵PC?面POC，
所以PC⊥AB． （5分）
（2）解：延長AO交BC于D，
得AD⊥BC，
故PD⊥BC，
所以∠PDO是面PBC與面ABC所成角的平面角． （7分）
因為PB=PC，
所以D是BC的中點，
∵BC=2，
∴CD=1．
故AB=AC．
在Rt△PDO中，PO=ODtan60°=OD． （9分）
在Rt△ADC與Rt△CDO中，
因為∠DAC=∠DCO，
所以△ADC∽△CDO，
故有，
即AD•OD=CD²==•2²═1 （11分）
∴P-ABC的體積：
V=•PO•S_△ABC
=（）••BC•AD
=••2•（）•AD
=OD•AD
=． （13分）
分析：（1）作PO⊥面ABC于O，連接AO、BO．因為PA⊥BC，所以AO⊥BC，PB⊥AC，BO⊥AC，故O是△ABC的垂心．由此能夠證明PC⊥AB．
（2）延長AO交BC于D，得AD⊥BC，故PD⊥BC，所以∠PDO是面PBC與面ABC所成角的平面角．因為PB=PC，所以D是BC的中點，故AB=AC．在Rt△PDO中，PO=ODtan60°=OD．在Rt△ADC與Rt△CDO中，因為∠DAC=∠DCO，所以△ADC∽△CDO，由此能夠求出P-ABC的體積．
點評：本題考查直線與直線垂直的證明和體積的計算，解題時要認真審題，恰當地連接輔助線，注意合理地反立體幾何問題轉化為平面幾何問題進行求解．易錯點是空間思維能力有待于進一步加強．