Question

△ABC的三個頂點都在橢圓4x²+5y²=80上，點A是橢圓短軸的上端點，且這個三角形的重心是橢圓的右焦點，求直線BC的方程．

Answer 1

分析：設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）進而根據(jù)橢圓方程求得b和c，進而可求得A，F(xiàn)₁的坐標，根據(jù)三角形的重心的性質(zhì)可分別求得x₁+x₂和y₁+y₂，把B，C點代入橢圓方程后兩式相減，進而求得直線BC的斜率，設(shè)出直線BC的方程，把B，C點坐標代入兩式相加求得b，則直線BC方程可得．

解答：解：設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）．
整理橢圓方程得

x2

20

+

y2

16

=1
∴短軸b=4 a=2

5

∴c=

20-16

=2，則A（0，4 ） F₁（2，0）
∴

0+x1+x2

3

=2，x₁+x₂=6
同理y₁+y₂=-4
又4（x₁+x₂）+5（y₁+y₂）×k=0
∴k=

6

5

k為BC斜率
令BC直線為：y=

6

5

x+b
則：y₁+y₂=

6

5

（x₁+x₂）+2b
b=-

28

5

∴BC直線為：y=

6

5

x-

28

5

即5y-6x+28=0

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn)，主要涉及位置關(guān)系的判定，弦長問題、最值問題、對稱問題、軌跡問題等，突出考查了數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想方法．