Question

已知 c＞0，設(shè)命題p：指數(shù)函數(shù)y=-（2c-1）^x在實(shí)數(shù)集R上為增函數(shù)，命題q：不等式x+（x-2c）²＞1在R上恒成立．若命題p或q是真命題，p且q是假命題，求c的取值范圍．

Answer 1

分析：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出命題p中c的范圍，由二次函數(shù)的性質(zhì)，求出命題q中c的范圍，再由命題p或q是真命題，p且q是假命題，可知p和q有一個(gè)為真命題，分類(lèi)討論，從而求解；

解答：解：當(dāng)p正確時(shí)，∵函數(shù)y=-（2c-1）^x在R上為增函數(shù)∴0＜2c-1＜1，
∴當(dāng)p為正確時(shí)，

1

2

＜c＜1
當(dāng)q正確時(shí)，
∵不等式x+（x-2c）²＞1的解集為R，
∴當(dāng)x∈R時(shí)，x²-（4c-1）x+（4c²-1）＞0恒成立．
∴△=（4c-1）²-4•（4c²-1）＜0，∴-8c+5＜0
∴當(dāng)q為正確時(shí)，c＞

5

8

由題設(shè)，若p和q有且只有一個(gè)正確，則
（1）p正確q不正確，

1 2 ＜c＜1 0＜c≤ 5 8

∴

1

2

＜c≤

5

8

------（9分）
（2）q正確p不正確，

0＜c≤ 1 2 或c≥1 c＞ 5 8

∴c≥1
∴綜上所述，若p和q有且僅有一個(gè)正確，c的取值范圍是(

1

2

--（14分）

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查指數(shù)函數(shù)的圖象及其性質(zhì)以及二次函數(shù)的恒成立問(wèn)題，利用了分類(lèi)討論的思想，分兩種情況進(jìn)行求解，計(jì)算的結(jié)果要求并；