Question

如圖，D是△ABC所在平面外一點(diǎn)，DC⊥AB，E、F分別是CD、BD的中點(diǎn)，且AD=10，CD=BC=6，AB=2

10

．
（1）求證：EF∥平面ABC；
（2）求異面直線AD與BC所成的角．

Answer 1

分析：（1）要證明EF∥平面ABC；只要證明EF與平面ABC內(nèi)的一條直線平行即可，易證EF∥BC，所以EF∥平面ABC；
 （2）取AC、BC的中點(diǎn)M、N，連接EM、MN、NF、MF，∠MEF（或其補(bǔ)角）就是異面直線AD、BC成的角，在四邊形EMNF中求解即可．

解答：解：（1）證明：∵E、F分別是CD、BD的中點(diǎn)
∴EF∥CB
又 CB?平面ABC，EF?平面ABC
∴EF∥平面ABC
（2）取AC、BC的中點(diǎn)M、N，連接EM、MN、NF、MF
∵EM∥AD      EF∥BC
∴∠MEF（或其補(bǔ)角）就是異面直線AD、BC成的角
在△MNF中，MN=

AB

2

=

10

，NF=

1

2

DC=3
DC∥FN，MN∥AB，DC⊥AB，∴∠MNF=90°
∴MF=

19

在△EMF中，cosMEF=

52+32-19

2×5×3

=

1

2

∴∠MEF=

π

3

，即AD、BC成的角為

π

3

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面的位置關(guān)系、異面直線夾角．考查轉(zhuǎn)化（本題空間角轉(zhuǎn)化為平面角，線面平行轉(zhuǎn)化為線線平行）、空間想像、計(jì)算的能力．