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已知在平面直角坐標系xOy中,圓心在第二象限、半徑為2數學公式的圓C與直線y=x相切于坐標原點O.橢圓數學公式+數學公式=1與圓C的一個交點到橢圓兩焦點的距離之和為10.
(1)求圓C的方程;
(2)試探究圓C上是否存在異于原點的點Q,使A到橢圓右焦點F的距離等于線段OF的長,若存在,請求出點Q的坐標;若不存在,請說明理由.

解:(1)設圓心坐標為(m,n)(m<0,n>0),
則該圓的方程為(x-m)2+(y-n)2=8已知該圓與直線y=x相切,
那么圓心到該直線的距離等于圓的半徑,則=2
即|m-n|=4…①
又圓與直線切于原點,將點(0,0)代入得m2+n2=8…②
聯立方程①和②組成方程組解得
故圓的方程為(x+2)2+(y-2)2=8;
(2)∵橢圓+=1與圓C的一個交點到橢圓兩焦點的距離之和為10.
∴2a=10,得a=5,a2=25,
由此可得,橢圓的方程為+=1
其焦距c==4,右焦點為(4,0),那么|OF|=4.
將兩圓的方程聯列,得,解之得x=,y=
即存在異于原點的點Q(,),
使得該點到右焦點F的距離等于|OF|的長.
分析:(1)設出圓心C(m,n),根據直線y=x與圓相切建立關于m、n的一個方程,而原點在圓C上建立關于m、n的另一個方程,兩方程聯解即可得到m=-2且n=2,由此即可得到圓C的標準方程;
(2)根據橢圓與圓C的一個交點到橢圓兩焦點的距離之和為10,算出a2=25,從而得到右焦點F(4,0),因此可得以F為圓心半徑r=0F=4的圓方程為(x-4)2+y2=16,將此方程與圓C方程聯解,可得x=且y=,所以存在異于原點的點Q(),使得該點到右焦點F的距離等于|OF|的長.
點評:本題給出滿足條件的圓C,求圓C的標準方程,并依此探索橢圓+=1右焦點F到圓C上一點的距離能否等于4.著重考查了橢圓的標準方程與簡單幾何性質、圓與圓的位置關系和圓錐曲線的綜合等知識,屬于中檔題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

選修4-4:坐標系與參數方程
已知在平面直角坐標系xOy內,點P(x,y)在曲線C:
x=1+cosθ
y=sinθ
為參數,θ∈R)上運動.以Ox為極軸建立極坐標系,直線l的極坐標方程為ρcos(θ+
π
4
)=0

(Ⅰ)寫出曲線C的標準方程和直線l的直角坐標方程;
(Ⅱ)若直線l與曲線C相交于A、B兩點,點M在曲線C上移動,試求△ABM面積的最大值,并求此時M點的坐標.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知在平面直角坐標系中的一個橢圓,它的中心在原點,左焦點為F(-
3
,0)
,且過點D(2,0).
(1)求該橢圓的標準方程;
(2)設點A(1,
1
2
)
,若P是橢圓上的動點,求線段PA的中點M的軌跡方程.

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科目:高中數學 來源: 題型:

(坐標系與參數方程選做題)已知在平面直角坐標系xoy中,圓C的參數方程為
x=
3
+3cosθ
y=1+3sinθ
,(θ為參數),以ox為極軸建立極坐標系,直線l的極坐標方程為ρcos(θ+
π
6
)
=0,則圓C截直線l所得的弦長為
4
2
4
2

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知在平面直角坐標系中,O(0,0),A(1,-2),B(1,1),C(2,-1),動點M(x,y)滿足條件
-2≤
OM
OA
≤2
1≤
OM
OB
≤2
,則z=
OM
OC
的最大值為( 。
A、-1B、0C、3D、4

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知在平面直角坐標系xOy中的一個橢圓,它的中心在原點,左焦點為F(-
3
,0)
,右頂點為D(2,0),設點A(1,
1
2
)

(Ⅰ)求該橢圓的標準方程;
(Ⅱ)若P是橢圓上的動點,求線段PA中點M的軌跡方程;
(Ⅲ)是否存在直線l,滿足l過原點O并且交橢圓于點B、C,使得△ABC面積為1?如果存在,寫出l的方程;如果不存在,請說明理由.

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