Question

已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓心在第二象限、半徑為2的圓C與直線y=x相切于坐標(biāo)原點(diǎn)O．橢圓+=1與圓C的一個(gè)交點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為10．
（1）求圓C的方程；
（2）試探究圓C上是否存在異于原點(diǎn)的點(diǎn)Q，使A到橢圓右焦點(diǎn)F的距離等于線段OF的長(zhǎng)，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（1）設(shè)圓心坐標(biāo)為（m，n）（m＜0，n＞0），
則該圓的方程為（x-m）²+（y-n）²=8已知該圓與直線y=x相切，
那么圓心到該直線的距離等于圓的半徑，則=2
即|m-n|=4…①
又圓與直線切于原點(diǎn)，將點(diǎn)（0，0）代入得m²+n²=8…②
聯(lián)立方程①和②組成方程組解得
故圓的方程為（x+2）²+（y-2）²=8；
（2）∵橢圓+=1與圓C的一個(gè)交點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為10．
∴2a=10，得a=5，a²=25，
由此可得，橢圓的方程為+=1
其焦距c==4，右焦點(diǎn)為（4，0），那么|OF|=4．
將兩圓的方程聯(lián)列，得，解之得x=，y=．
即存在異于原點(diǎn)的點(diǎn)Q（，），
使得該點(diǎn)到右焦點(diǎn)F的距離等于|OF|的長(zhǎng)．
分析：（1）設(shè)出圓心C（m，n），根據(jù)直線y=x與圓相切建立關(guān)于m、n的一個(gè)方程，而原點(diǎn)在圓C上建立關(guān)于m、n的另一個(gè)方程，兩方程聯(lián)解即可得到m=-2且n=2，由此即可得到圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）根據(jù)橢圓與圓C的一個(gè)交點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為10，算出a²=25，從而得到右焦點(diǎn)F（4，0），因此可得以F為圓心半徑r=0F=4的圓方程為（x-4）²+y²=16，將此方程與圓C方程聯(lián)解，可得x=且y=，所以存在異于原點(diǎn)的點(diǎn)Q（，），使得該點(diǎn)到右焦點(diǎn)F的距離等于|OF|的長(zhǎng)．
點(diǎn)評(píng)：本題給出滿足條件的圓C，求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程，并依此探索橢圓+=1右焦點(diǎn)F到圓C上一點(diǎn)的距離能否等于4．著重考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、圓與圓的位置關(guān)系和圓錐曲線的綜合等知識(shí)，屬于中檔題．