Question

已知在平面直角坐標系xOy中，圓心在第二象限、半徑為2的圓C與直線y=x相切于坐標原點O．橢圓+=1與圓C的一個交點到橢圓兩焦點的距離之和為10．
（1）求圓C的方程；
（2）試探究圓C上是否存在異于原點的點Q，使A到橢圓右焦點F的距離等于線段OF的長，若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）設圓心坐標為（m，n）（m＜0，n＞0），
則該圓的方程為（x-m）²+（y-n）²=8已知該圓與直線y=x相切，
那么圓心到該直線的距離等于圓的半徑，則=2
即|m-n|=4…①
又圓與直線切于原點，將點（0，0）代入得m²+n²=8…②
聯立方程①和②組成方程組解得
故圓的方程為（x+2）²+（y-2）²=8；
（2）∵橢圓+=1與圓C的一個交點到橢圓兩焦點的距離之和為10．
∴2a=10，得a=5，a²=25，
由此可得，橢圓的方程為+=1
其焦距c==4，右焦點為（4，0），那么|OF|=4．
將兩圓的方程聯列，得，解之得x=，y=．
即存在異于原點的點Q（，），
使得該點到右焦點F的距離等于|OF|的長．
分析：（1）設出圓心C（m，n），根據直線y=x與圓相切建立關于m、n的一個方程，而原點在圓C上建立關于m、n的另一個方程，兩方程聯解即可得到m=-2且n=2，由此即可得到圓C的標準方程；
（2）根據橢圓與圓C的一個交點到橢圓兩焦點的距離之和為10，算出a²=25，從而得到右焦點F（4，0），因此可得以F為圓心半徑r=0F=4的圓方程為（x-4）²+y²=16，將此方程與圓C方程聯解，可得x=且y=，所以存在異于原點的點Q（，），使得該點到右焦點F的距離等于|OF|的長．
點評：本題給出滿足條件的圓C，求圓C的標準方程，并依此探索橢圓+=1右焦點F到圓C上一點的距離能否等于4．著重考查了橢圓的標準方程與簡單幾何性質、圓與圓的位置關系和圓錐曲線的綜合等知識，屬于中檔題．