Question

18．已知一曲線上任一點處的切線斜率為$\sqrt{x}$+$\root{3}{x}$，且曲線經(jīng)過點（1，2），求該曲線的方程．

Answer 1

分析 設(shè)曲線上任一點為（x，y），由題意可得f′（x）=$\sqrt{x}$+$\root{3}{x}$，即有f（x）=∫f′（x）dx=∫（$\sqrt{x}$+$\root{3}{x}$）dx，求得原函數(shù)，再由曲線經(jīng)過點（1，2），解方程可得曲線方程．

解答 解：設(shè)曲線y=f（x）上任一點為（x，y），
由題意可得f′（x）=$\sqrt{x}$+$\root{3}{x}$，
即有f（x）=∫f′（x）dx=∫（$\sqrt{x}$+$\root{3}{x}$）dx
=$\frac{2}{3}$${x}^{\frac{3}{2}}$+$\frac{3}{4}$${x}^{\frac{4}{3}}$+C，
曲線經(jīng)過點（1，2），可得$\frac{2}{3}$+$\frac{3}{4}$+C=2，
解得C=$\frac{7}{12}$，
即有該曲線方程為：y=$\frac{2}{3}$${x}^{\frac{3}{2}}$+$\frac{3}{4}$${x}^{\frac{4}{3}}$+$\frac{7}{12}$．

點評 本題考查曲線方程的求法，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和積分求原函數(shù)的方法，屬于中檔題．