Question

已知圓C：x²+y²+2x-6y+1=0，直線l：x+my=3．
（1）若l與C相切，求m的值；
（2）是否存在m值，使得l與C相交于A、B兩點，且（其中O為坐標原點），若存在，求出m，若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由圓方程配方得（x+1）²+（y-3）²=9，
圓心為C（-1，3），半徑為r=3，
若l與C相切，則得=3，
∴（3m-4）²=9（1+m²），
∴m=．

（2）假設(shè)存在m滿足題意．
由x²+y²+2x-6y+1=0，x=3-my
消去x得（m²+1）y²-（8m+6）y+16=0，
由△=（8m+6）²-4（m²+1）•16＞0，得m＞，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則y₁+y₂=，y₁y₂=．
=x₁x₂+y₁y₂
=（3-my₁）（3-my₂）+y₁y₂
=9-3m（y₁+y₂）+（m²+1）y₁y₂
=9-3m•+（m²+1）•
=25-=0
24m²+18m=25m²+25，m²-18m+25=0，
∴m=9±2，適合m＞，
∴存在m=9±2符合要求．
分析：（1）將圓的方程轉(zhuǎn)化為標準方程，求得圓心和半徑，由圓心到直線的距離等于半徑來求解．
（Ⅱ）先假設(shè)存在m，由圓的方程和直線方程聯(lián)立由韋達定理分別求得x₁x₂，y₁y₂由，求解，然后，再由判別式騅即可．
點評：本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系及其方程的應(yīng)用，在直線與圓相交時，不要忘記判別式以及韋達定理的結(jié)合應(yīng)用．