Question

設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c，集合A={x|f（x）=x}={1，2}，且f（0）=2．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求當x∈[0，m]（m＞0）時，f（x）的值域．

Answer 1

考點：函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）由f（0）=2可得：c=2，由A={1，2}可得：1，2中方程f（x）=x的根，即方程ax²+（b-1）x+2=0的根，由韋達定理可得a，b的值，進而得到二次函數(shù)f（x）的解析式；
（2）根據(jù)m與對稱軸的關(guān)系，分類討論即可

解答： 解：（1）∵f（0）=2，
∵c=2，
又∵A={1，2}，
∴1，2中方程f（x）=x的根，即方程ax²+（b-1）x+2=0的根，
由韋達定理得：1+2=

1-b

a

，1×2=

2

a

，
解得：a=1，b=-2，
∴f（x）=x²-2x+2．
（2）∵f（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1，
當0＜m＜1時，
函數(shù)f（x）在（0，m]上為減函數(shù)，
∴f（m）≤f（x）＜f（0），
即m²-2m+2≤f（x）＜2，
當1≤m＜2時，
函數(shù)f（x）在（0，1]上為減函數(shù)，在[1，m]上為增函數(shù)，且f（0）＞f（m）
∴f（1）≤f（x）＜f（0），
即1≤f（x）＜2，
當m≥2時，
函數(shù)f（x）在（0，1]上為減函數(shù)，在[1，m]上為增函數(shù)，且f（0）＜f（m）
∴f（1）≤f（x）≤f（m），
即1≤f（x）≤2m²-2m+2，
綜上所述，當0＜m＜1時，值域為[m²-2m+2，2）
當1≤m＜2時，值域為[1，2），
當m≥2時，值域為[1，m²-2m+2]

點評：本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．