Question

（08年東城區(qū)統(tǒng)一練習(xí)一文）（14分）

如圖，在直三棱柱ABC―A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=BB₁=1，AC=.

   （I）求直線B₁C與平面ABB₁A₁所成角的大小；

   （II）求二面角A―B₁C―B的大小.

Answer 1

解析：解法一：（I）解：由直三棱柱性質(zhì)，B₁B⊥平面ABC，

∴B₁B⊥AC，

又BA⊥AC，

∴AC⊥平面 ABB₁A₁，

∴∠CB₁A為直線B₁C與平面ABB₁A₁所成的角.

由AB=BB₁=1，可得AB₁=.

又AC=，∴tanCB₁A==1.

∴直線B₁C與平面ABB₁A₁所成角的大小為45°.                                …………7分

  

（II）解：過A做AM⊥BC，垂足為M，

過M做MN⊥B₁C，垂足為N，連結(jié)AN，

由AM⊥BC，可得AM⊥平面BCC₁B₁，

由三垂線定理，可知AN⊥B₁C，

∴∠ANM為二面角A―B₁C―B的平面角，

∴二面角A―B₁C―B的大小為                                         …………14分

解法二：

   （I）解：建立如圖的空間直角坐標(biāo)系A―xyz，

由AB=B₁B=1，AC=

∴直線B₁C與平面ABB₁A₁所成角的大小為45°.                               …………7分

   （II）解：設(shè)為平面BCC₁B₁的一個法向量，

∴二面角A―B₁C―B的大小為                                         …………14分