Question

已知函數(shù)f（x）=log_a^x（a＞0，a≠1）
（1）若f（x₁x₂…x₂₀₀₉）=10，求f（x₁²）+f（x₂²）+…f（x₂₀₀₉²）的值；
（2）當(dāng)x∈（-1，0）時，g（x）=f（x+1）＞0，求a的取值范圍；
（3）若g（x）=f（x+1），當(dāng)動點(diǎn)P（x，y）在y=g（x）的圖象上運(yùn)動時，點(diǎn)M（，）在函數(shù)y=H（x）的圖象上運(yùn)動，求y=H（x）的解析式．

Answer 1

解：（1）∵f（x₁x₂…x₂₀₀₉）=log_a（x₁x₂…x₂₀₀₉）=10，
∴f（x₁²）+f（x₂²）+…f（x₂₀₀₉²）=log_a（x₁²）+log_a（x₂²）+…+log_a（x₂₀₀₉²）
=log_a（x₁x₂…x₂₀₀₉）²
=2log_a（x₁x₂…x₂₀₀₉）
=20
（2）g（x）=f（x+1）=log_a（x+1）
∵x∈（-1，0），∴x+1∈（0，1）
∵log_a（x+1）＞0
∴0＜a＜1，即a的范圍為（0，1）
（3）g（x）=f（x+1）=log_a（x+1）
設(shè)M（u，v），則，∴
∵代入y=log_a（x+1）得：2v=log_a（3u+1）
∴v=log_a（3u+1）
∴y=H（x）的解析式為H（x）=log_a（3x+1）
分析：（1）利用對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)和冪運(yùn)算性質(zhì)，將所求代數(shù)式化簡為2f（x₁x₂…x₂₀₀₉）即可；
（2）先計(jì)算內(nèi)層函數(shù)的值域，再利用對數(shù)函數(shù)的圖象性質(zhì)即可得a的取值范圍；
（3）先將點(diǎn)M的坐標(biāo)設(shè)為M（u，v），從而用M的坐標(biāo)表示P點(diǎn)坐標(biāo)，最后代入P的方程即可得M的軌跡方程，即H（x）的解析式
點(diǎn)評：本題考查了對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)和冪運(yùn)算性質(zhì)，對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，代入法求動點(diǎn)軌跡方程