【題目】已知 、 是兩個不共線的向量,且 =(cosα,sinα), =(cosβ,sinβ).
(1)求證: + 垂直;
(2)若α∈(﹣ , ),β= ,且| + |= ,求sinα.

【答案】
(1)證明: 、 是兩個不共線的向量,

=(cosα,sinα), =(cosβ,sinβ),.

+ =(cosα+cosβ,sinα+sinβ),

=(cosα﹣cosβ,sinα﹣sinβ),

∴( + )( )=(cos2﹣cos2β)+(sin2α﹣sin2β)

=(cos2α+sin2α)﹣(cos2β+sin2β)

=1﹣1=0,

+ 垂直


(2)解:∵ =(cosα+cosβ)2+(sinα+sinβ)2

=2+2(cosαcosβ+sinαsinβ)

=2+2cos(α﹣β),

且β= ,| + |= ,

∴2+2cos(α﹣ )= ,

解得cos(α﹣ )= ;

又α∈(﹣ , ),

∴α﹣ ∈(﹣ ,0),

∴sin(α﹣ )=﹣ =﹣ ,

∴sinα=sin[(α﹣ )+ ]=sin(α﹣ )cos +cos(α﹣ )sin

=﹣ × + × =﹣


【解析】(1)利用平面向量的坐標運算與數(shù)量積為0,即可證明 + 垂直;(2)利用平面向量的數(shù)量積與模長公式,結(jié)合三角恒等變換與同角的三角函數(shù)關(guān)系,即可求出sinα的值.

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