對于在區(qū)間[p，q]上有意義的兩個函數(shù)f（x），g（x），若對于所有的x∈[p，q]，都有|f（x）-g（x）|≤1，則稱f（x）和g（x）在區(qū)間[p，q]上是接近的兩個函數(shù)，否則稱它們在區(qū)間[p，q]上是非接近的兩個函數(shù)．現(xiàn)在給定區(qū)間D=[a+2，a+3]，有兩個函數(shù)f(x)=loga(x-3a)，g(x)=loga
1x-a
，其中a＞0且a≠1．
（1）若f（x）和g（x）在區(qū)間D上都有意義，求a的取值范圍；
（2）討論f（x）和g（x）在區(qū)間D上是否為接近的兩個函數(shù)．
分析：（1）由f（x）和g（x）在區(qū)間D上都有意義，即
x-3a＞0
x-a＞0
且a+2＞3a，求得a的取值范圍；
（2）在（1）的條件下，求出|f（x）-g（x）|≤1時a的取值范圍，得到f（x）和g（x）在區(qū)間D上是接近的兩個函數(shù)；否則，是非接近的兩個函數(shù)．
解答：解：（1）∵函數(shù)f(x)=loga(x-3a)，g(x)=loga
1
x-a
，其中a＞0且a≠1，
∴
x-3a＞0
x-a＞0
，即x＞3a；
又區(qū)間D=[a+2，a+3]，
∴a+2＞3a，
∴0＜a＜1；
∴a的取值范圍是{a|0＜a＜1}；
（2）∵|f（x）-g（x）|=|loga（x-3a）-loga
1
x-a
|=|loga（x2-4ax+3a2）|=|loga[（x-2a）2-a2]|，
當(dāng)x∈D時，（x-2a）2-a2∈[4-4a，9-6a]，
令h(x)=loga(x2-4ax+3a2)，
則h（x）min=h（a+3）=loga（9-6a），h（x）max=h（a+2）=loga（4-4a），
要使得|f（x）-g（x）|≤1，
則
0＜a＜1
loga(9-6a)≥-1
loga(4-4a)≤1
，解得0＜a≤
9-
57
12
，
∴當(dāng)a∈(0，
9-
57
12
]時，f（x）和g（x）在區(qū)間D上是接近的兩個函數(shù)；
當(dāng)a∈(
9-
57
12
，1)時，f（x）和g（x）在區(qū)間D上是非接近的兩個函數(shù)．
點評：本題考查了新定義下的函數(shù)的定義域、值域問題，以及函數(shù)與不等式的綜合應(yīng)用問題，是易錯題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=lnx-ax．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值，
（Ⅱ）已知過點P（1，f（1）），Q（e，f（e））的直線為l，則必存在x0∈（1，e），使曲線y=f（x）在點（x0，f（x0））處的切線與直線l平行，求x0的值，
（Ⅲ）已知函數(shù)g（x）圖象在[0，1]上連續(xù)不斷，且函數(shù)g（x）的導(dǎo)函數(shù)g'（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減，若g（1）=0，試用上述結(jié)論證明：對于任意x∈（0，1），恒有g(shù)（x）＞g（0）（1-x）成立．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知命題p：函數(shù)f（x）=x2-4mx+4m2+2在區(qū)間[-1，3]上的最小值等于2；命題q：不等式x+|x-m|＞1對于任意x∈R恒成立；命題r：{x|m≤x≤2m+1}⊆{x|x2≥1}．如果上述三個命題中有且僅有一個真命題，試求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知冪函數(shù)f(x)=x-
1
2
p2+p+
3
2
（p∈N）在（0，+∞）上是增函數(shù)，且在定義域上是偶函數(shù)．
（1）求p的值，并寫出相應(yīng)的f（x）的解析式；
（2）對于（1）中求得的函數(shù)f（x），設(shè)函數(shù)g（x）=-qf[f（x）]+（2q-1）f（x）+1，問：是否存在實數(shù)q（q＜0），使得g（x）在區(qū)間（-∞，-4]上是減函數(shù)，且在區(qū)間（-4，0）（10）上是增函數(shù)？若存在，請求出來；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若定義在區(qū)間D上的函數(shù)y=f（x）對于區(qū)間D上任意x1，x2都有不等式
1
2
[f(x1)+f(x2)]≤f(
x1+x2
2
)成立，則稱函數(shù)y=f（x）在區(qū)間D上的凸函數(shù)．
（I）證明：定義在R上的二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a＜0）是凸函數(shù)；
（II）對（I）的函數(shù)y=f（x），若|f（1）|≤1，|f（2）|≤2，|f（3）|≤3，求|f（4）|取得最大值時函數(shù)y=f（x）的解析式；
（III）定義在R上的任意凸函數(shù)y=f（x），當(dāng)q，p，m，n∈N*且p＜m＜n＜q，p+q=m+n，證明：f（p）+f（q）≤f（m）+f（n）．

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