Question

20．已知函數(shù)f（x）=ax²+$\frac{1}{x+b}$（a，b∈R）．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并說明理由；
（2）當b=0時，f（x）≥$\frac{1}{4}$a+2在（0，$\frac{1}{2}$]上恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，結(jié)合a，b的取值即可判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）求出f（x）的表達式，利用參數(shù)分離法進行轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：（1）若b=0，則f（x）=ax²+$\frac{1}{x}$，此時函數(shù)的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），
若a=0，則f（x）=$\frac{1}{x}$為奇函數(shù)，
若a≠0，則f（x）為非奇非偶函數(shù)，
若b≠0，則由x+b≠0得x≠-b，則函數(shù)的定義域關(guān)于原點不對稱，函數(shù)f（x）為非奇非偶函數(shù)，
綜上當a=b=0時，函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，其他都為非奇非偶函數(shù)．
（2）當b=0時，f（x）≥$\frac{1}{4}$a+2在（0，$\frac{1}{2}$]上恒成立，
則當b=0時，ax²+$\frac{1}{x}$≥$\frac{1}{4}$a+2在（0，$\frac{1}{2}$]上恒成立，
即a（x²-$\frac{1}{4}$）≥2-$\frac{1}{x}$，即a（x-$\frac{1}{2}$）（x+$\frac{1}{2}$）≥$\frac{2（x-\frac{1}{2}）}{x}$，
由x-$\frac{1}{2}$≤0，x+$\frac{1}{2}$$＞\frac{1}{2}$，則不等式等價為a≤$\frac{2}{x（x+\frac{1}{2}）}$在（0，$\frac{1}{2}$]上恒成立，
當x∈（0，$\frac{1}{2}$]時，x（x+$\frac{1}{2}$）≤$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{2}{x（x+\frac{1}{2}）}$≥4，
即a≤4．

點評 本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷，以及不等式恒成立問題，利用參數(shù)分離法是解決本題的關(guān)鍵．