精英家教網(wǎng) > 高中數(shù)學 > 題目詳情

正項數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，點A_n（ $數(shù)學公式$ ）在雙曲線y²-x²=1上，點（b_n，T_n）在直線y=- $數(shù)學公式$ x+1上，其中Tn是數(shù)列{bn}的前n項和．
①求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項公式；
②設C_n=a_nb_n，證明C_n+1＜C_n
③若m-7a_nb_n＞0恒成立，求正整數(shù)m的最小值．

解：①由已知點A_n在y²-x²=1上知，a_n+1-a_n=1，
∴數(shù)列{a_n}是一個以2為首項，以1為公差的等差數(shù)列．
∴a_n=n+1
∵點（b_n，T_n）在直線y=- $\text{[math]}$ x+1上
∴T_n=- $\text{[math]}$ b_n+1①
∴T_n-1=- $\text{[math]}$ b_n-1+1②
①②兩式相減得b_n=- $\text{[math]}$ b_n+ $\text{[math]}$ b_n-1
∴ $\text{[math]}$
令n=1得 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
② $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ＜0，
∴c_n+1＜c_n
③∵{c_n}遞減而m＞7c_n恒成立
∴m＞7c₁= $\text{[math]}$ 而m∈N^*
∴m的最小值為10．
分析：①由題意知a_n=n+1，T_n=- $\text{[math]}$ b_n+1，T_n-1=- $\text{[math]}$ b_n-1+1，所以 $\text{[math]}$ ，由此可知 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．
②由題意知 $\text{[math]}$ ，由此可知 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ＜0，所以c_n+1＜c_n．
③由{c_n}遞減而m＞7c_n恒成立，知m＞7c₁= $\text{[math]}$ 而m∈N^*，由此可知m的最小值為10．
點評：本題考查數(shù)列的綜合運用，解題時要認真審題，仔細解答．

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已知正項數(shù)列a_n滿足：a₁=1，n≥2時，（n-1）a_n²=na_n-1²+n²-n．
（1）求數(shù)列a_n的通項公式；
（2）設a_n=2ⁿ•b_n，數(shù)列b_n的前n項和為S_n，是否存在正整數(shù)m，使得對任意的n∈N*，m-3＜S_n＜m恒成立？若存在，求出所有的正整數(shù)m；若不存在，說明理由．

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