Question

11．已知函數(shù)f（x）=|log₂|x-1||，且關(guān)于x的方程[f（x）]²+af（x）+2b=0有6個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，若最小的實(shí)數(shù)根為-3，則a+b的值為（　�。�

• A． -2
• B． 4
• C． 6
• D． 8

Answer 1

分析 先作出函數(shù)f（x）=|log₂|x-1||的圖象，令t=f（x），方程[f（x）]²+af（x）+2b=0轉(zhuǎn)化為：t²+at+2b=0，再方程[f（x）]²+af（x）+2b=0有6個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，可知方程t²+at+2b=0有一零根和一正根，又因?yàn)樽钚〉膶?shí)數(shù)解為-3，所以f（-3）=2從而得到方程：t²+at+2b=0的兩根是0和2，最后由韋達(dá)定理求得得：a，b進(jìn)而求得a+b的值．

解答 解：作出函數(shù)f（x）=|log₂|x-1||的圖象，如圖所示：
∵方程[f（x）]²+af（x）+2b=0有6個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，
令t=f（x），方程[f（x）]²+af（x）+2b=0轉(zhuǎn)化為：t²+at+2b=0，
則關(guān)于t的方程有一零根和一正根，
又∵最小的實(shí)數(shù)解為-3，由f（-1）=2，
∴方程：t²+at+2b=0的兩根是0和2，
由韋達(dá)定理得：a=-2，b=0，
∴a+b=-2，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用，還考查了方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系，屬于中檔題．