Question

已知△ABC的頂點C在直線3x-y=0上，頂點A、B的坐標分別為（4，2），（0，5）．
（Ⅰ）求過點A且在x，y軸上的截距相等的直線方程；
（Ⅱ）若△ABC的面積為10，求頂點C的坐標．

Answer 1

考點：待定系數(shù)法求直線方程,正弦定理

專題：直線與圓

分析：（Ⅰ）分點A且在x，y軸上的截距等于零和不等于零兩種情況，分別用點斜式求得所求直線的直線方程．
（Ⅱ）設C（x₀，3x₀），先求出AB所在的直線方程，再頂點C到直線AB的距離d，由S_△ABC=

1

2

|AB|•d=10，求得x₀的值，可得頂點C的坐標．

解答： 解：（Ⅰ）當所求直線過原點時，k=

1

2

，∴y=

1

2

x，即x-2y=0；
當截距不為0時，k=-1，∴y-2=-（x-4），即x+y-6=0．
∴所求直線方程為x-2y=0或x+y-6=0．
（Ⅱ）由頂點C在直線3x-y=0上，可設C（x₀，3x₀），
可求直線AB的方程為3x+4y-20=0，
則頂點C到直線AB的距離d=

|3x0+4×3x0-20|

32+42

=|3x₀-4|，且|AB|=

42+(2-5)2

=5，
∴S_△ABC=

1

2

|AB|•d=10，即|3x₀-4|=4，∴x₀=0或x₀=

8

3

，
故頂點C的坐標為（0，0）或（

8

3

，8）．

點評：本題主要考查用待定系數(shù)法求直線的方程，點到直線的距離公式的應用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想，屬于基礎題．