Question

如圖，在四面體ABOC中，OC⊥OA，OC⊥OB，∠AOB＝120°，且OA＝OB＝OC＝1.

(1)設(shè)P為AC的中點(diǎn)．證明：在AB上存在一點(diǎn)Q，使PQ⊥OA，并計(jì)算的值；

(2)求二面角O－AC－B的平面角的余弦值．

 

 

 

Answer 1

【答案】

解：解法一：(1)在平面OAB內(nèi)作ON⊥OA交AB于N，連結(jié)NC.

 

 

又OA⊥OC，∴OA⊥平面ONC.

∵NC⊂平面ONC，∴OA⊥NC.

取Q為AN的中點(diǎn)，則PQ∥NC，

∴PQ⊥OA.

在等腰△AOB中，∠AOB＝120°，

∴∠OAB＝∠OBA＝30°.

在Rt△AON中，∠OAN＝30°，

∴ON＝AN＝AQ.

在△ONB中，∠NOB＝120°－90°＝30°＝∠NBO，∴NB＝ON＝AQ，∴＝3.

 

 

(2)連結(jié)PN，PO.

由OC⊥OA，OC⊥OB知OC⊥平面OAB.

又ON⊂平面OAB，∴OC⊥ON.

又由ON⊥OA知ON⊥平面AOC.

∴OP是NP在平面AOC內(nèi)的射影．

在等腰Rt△COA中，P為AC的中點(diǎn)，

∴AC⊥OP.

根據(jù)三垂線定理，知AC⊥NP.

∴∠OPN為二面角O－AC－B的平面角．在等腰Rt△COA中，OC＝OA＝1，

∴OP＝.

在Rt△AON中，ON＝OAtan 30°＝，

∴在Rt△PON中，PN＝，

∴cos ∠OPN＝＝.

【解析】略