某小區(qū)規(guī)劃一塊周長為2a(a為正常數(shù))的矩形停車場,其中如圖所示的直角三角形ADP內(nèi)為綠化區(qū)域.且∠PAC=∠CAB.設(shè)矩形的長AB=x,AB>AD
(1)求線段DP的長關(guān)于x的函數(shù)l(x)表達(dá)式并指出定義域;
(2)應(yīng)如何規(guī)劃矩形的長AB,使得綠化面積最大?

【答案】分析:(1)由已知中矩形停車場的周長為2a(a為正常數(shù)),直角三角形ADP內(nèi)為綠化區(qū)域.且∠PAC=∠CAB.我們易得,進(jìn)而根據(jù)矩形的長AB=x,AB>AD,可求出線段DP的長關(guān)于x的函數(shù)l(x)表達(dá)式并指出定義域;
(2)由(1)中函數(shù)的解析式,我們易求出綠化區(qū)域即直角三角形ADP面積的表達(dá)式,進(jìn)而利用基本不等式,我們可求出直角三角形ADP面積取最大值時,對應(yīng)的AB的長,即可得到答案.
解答:解:(1)AD=BC=a-x,由AB>AD,得
設(shè)∠BAC=∠CAP=α,,因為∠APD=2α,,
,
所以   ,定義域為-----------------------------(7分)
(2)---------------------------------(9分)
因為,僅當(dāng)時取等號.又
所以,此時AB=-------------------------------(13分)
答:當(dāng)矩形的長為時,綠化面積最大.----------------------------------------(14分)
點(diǎn)評:本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用,基本不等式,其中(1)中根據(jù)已知條件判斷出,是解答的關(guān)鍵,而(2)中關(guān)鍵是求出綠化面積的表達(dá)式,為基本不等式的使用創(chuàng)造條件.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)某居民小區(qū)內(nèi)建有一塊矩形草坪ABCD,AB=50米,BC=25
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米,為了便于居民平時休閑散步,該小區(qū)物業(yè)管理公司將在這塊草坪內(nèi)鋪設(shè)三條小路OE、EF和OF,考慮到小區(qū)整體規(guī)劃,要求O是AB的中點(diǎn),點(diǎn)E在邊BC上,點(diǎn)F在邊AD上,且∠EOF=90°,如圖所示.
(1)設(shè)∠BOE=α,試將△OEF的周長l表示成α的函數(shù)關(guān)系式,并求出此函數(shù)的定義域;
(2)經(jīng)核算,三條路每米鋪設(shè)費(fèi)用均為400元,試問如何設(shè)計才能使鋪路的總費(fèi)用最低?并求出最低總費(fèi)用.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

某小區(qū)規(guī)劃一塊周長為2a(a為正常數(shù))的矩形停車場,其中如圖所示的直角三角形ADP內(nèi)為綠化區(qū)域.且∠PAC=∠CAB.設(shè)矩形的長AB=x,AB>AD
(1)求線段DP的長關(guān)于x的函數(shù)l(x)表達(dá)式并指出定義域;
(2)應(yīng)如何規(guī)劃矩形的長AB,使得綠化面積最大?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(14分)某小區(qū)規(guī)劃一塊周長為(為正常數(shù))的矩形停車場,其中如圖所示的直角三角形內(nèi)為綠化區(qū)域.且.設(shè)矩形的長,

(1)求線段的長關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式并指出定義域;

(2)應(yīng)如何規(guī)劃矩形的長,使得綠化面積最大?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011年江蘇省連云港市贛榆高級中學(xué)高一(下)綜合練習(xí)數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

某居民小區(qū)內(nèi)建有一塊矩形草坪ABCD,AB=50米,BC=米,為了便于居民平時休閑散步,該小區(qū)物業(yè)管理公司將在這塊草坪內(nèi)鋪設(shè)三條小路OE、EF和OF,考慮到小區(qū)整體規(guī)劃,要求O是AB的中點(diǎn),點(diǎn)E在邊BC上,點(diǎn)F在邊AD上,且∠EOF=90°,如圖所示.
(1)設(shè)∠BOE=α,試將△OEF的周長l表示成α的函數(shù)關(guān)系式,并求出此函數(shù)的定義域;
(2)經(jīng)核算,三條路每米鋪設(shè)費(fèi)用均為400元,試問如何設(shè)計才能使鋪路的總費(fèi)用最低?并求出最低總費(fèi)用.

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