Question

已知橢圓的離心率為，直線與橢圓相交于A，B兩點，點M在橢圓上，．求橢圓的方程．

Answer 1

解：由，則a²=4b²，橢圓可以轉化為：x²+4y²=4b²
將代入上式，消去y，得：x²+2x+2-2b²=0
直線與橢圓相交有兩個不同的點A，B
則△=4-4（2-b²）＞0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x，y）
則得
又因為M在橢圓上，所以
代入整理可得，x₁x₂+4y₁y₂=0
所以，=0
x₁x₂+x₁+x₂+2=0
因為，x₁+x₂=-2，x₁x₂=2-2b²，所以b²=1
所以
分析：由，則a²=4b²，將代入上式，消去y整理可得x²+2x+2-2b²=0（*），則△=4-4（2-b²）＞0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x，y），則由得，M在橢圓上代入結合（*）可求橢圓的方程
點評：本題主要考查了利用橢圓的性質求解橢圓的方程，直線域橢圓上的相交的位置關系的應用，方程思想的應用，屬于基礎知識的應用．