Question

【題目】過拋物線：的焦點(diǎn)做直線交拋物線于，兩點(diǎn)，的最小值為2.

（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過，分別做拋物線的切線，兩切線交于點(diǎn)，且直線，分別與軸交于點(diǎn)，，記和的面積分別為和，求證：為定值.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析

【解析】

（1）設(shè)直線：，與拋物線方程聯(lián)立可得韋達(dá)定理的形式，進(jìn)而表示出，可知當(dāng)時(shí)，最小，從而構(gòu)造出關(guān)于的方程，解得，進(jìn)而得到拋物線方程；（2）結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得切線和的斜率，得到兩直線方程，從而解得坐標(biāo)；兩直線聯(lián)立可解得；由，可得到所求的比值為定值.

（1）由題意知，直線的斜率存在，設(shè)直線：，，

聯(lián)立方程得：

，，

當(dāng)時(shí)，最小，此時(shí)，即：

拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

（2）由得

，而，分別是以，為切點(diǎn)的切線

，

直線：，令得：

直線：，令得

則聯(lián)立兩直線方程，消去得：

，，

，為定值