Question

已知橢圓C：（a＞b＞0）的離心率為，其左、右焦點(diǎn)分別是F₁、F₂，點(diǎn)P是坐標(biāo)平面內(nèi)的一點(diǎn)，且|OP|=，•=（點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）直線y=x與橢圓C在第一象限交于A點(diǎn)，若橢圓C上兩點(diǎn)M、N使+=λ，λ∈（0，2）求△OMN面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)P（x，y），F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），由|OP|=得，由，得，由此能求出橢圓C的方程．
（2）由，得，設(shè)直線MN的方程為y=kx+m，聯(lián)立方程組，得（1+3k²）x²+6kmx+3m²-3=0，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由韋達(dá)定理知，由，知，，，=，O（0，0）到直線MN的距離為d=，由此能求出S_△OMN的最大值．
解答：解：（1）設(shè)P（x，y），F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
由|OP|=得，
由，得（-c-x，-y）•，
即，
所以c=，又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024181637040159419/SYS201310241816370401594020_DA/22.png">，所以a²=3，b²=1，
橢圓C的方程為：；
（2）由得，
設(shè)直線MN的方程為y=kx+m，聯(lián)立方程組
消去y得：（1+3k²）x²+6kmx+3m²-3=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則，
∴，
∵，∴，，
得，于是，
∴=，
∵λ＞0，O（0，0）到直線MN的距離為d=，
∴
=，
當(dāng)，即時等號成立，S_△OMN的最大值為．
點(diǎn)評：本題考查求橢圓的方程和求△OMN面積的最大值．解題時要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，靈活運(yùn)用橢圓的性質(zhì)，合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．