Question

某高中進(jìn)行高中生歌唱比賽，在所有參賽成績中隨機(jī)抽取100名學(xué)生的成績，按成績分組：第1組[75，80），第2組[80，85），第3組[85，90），第4組[90，95），第5組[95，100]得到的頻率分布直方圖如圖所示．現(xiàn)在組委會決定在筆試成績高的第3，4，5組中用分層抽樣抽取6名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試．
（1）求3，4，5組各應(yīng)該抽取多少人進(jìn)入第二輪面試；
（2）學(xué)校決定在（1）中抽取的這6名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生接受考官D的面試，設(shè)第3組中有ξ名學(xué)生被考官D面試，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,頻率分布直方圖,離散型隨機(jī)變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（1）由頻率分布直方圖分別求出第三組、第四組、第五組的頻率，從而求出3，4，5組各有30，20，10人，由此能求出3，4，5組各應(yīng)該抽取多少人進(jìn)入第二輪面試．
（2）由（1）可得6人中有3人是第三組的，所以ξ=0，1，2，由超幾何分布原理可得：P（ξ=k）=

C k 3 C 2-k 3

C 2 6

，k=0，1，2，由此能求出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（1）由頻率分布直方圖可得第三組的頻率是0.06×5=0.3，…（1分）
第四組的頻率是0.04×5=0.2，…（2分）
第五組的頻率是0.02×5=0.1，…（3分）
則3，4，5組各有30，20，10人．
第三組應(yīng)抽�。�

30

60

×6=3人，…4分
第四組應(yīng)抽�。�

20

60

×6=2人，…5分
第五組應(yīng)抽取：

10

60

×6=1人．…（6分）
（2）由（1）可得6人中有3人是第三組的，所以ξ=0，1，2，…（7分）
由超幾何分布原理可得：P（ξ=k）=

C k 3 C 2-k 3

C 2 6

，k=0，1，2，
ξ的分布列為

ξ	0	1	2
P	1 5	3 5	1 5

…（10分）
期望：Eξ=0×

1

5

+1×

3

5

+2×

2

5

=1．…（12分）

點評：本題考查分層抽樣、頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意超幾何分布原理的合理運用．