Question

已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有（其中為自然對(duì)數(shù)的底，）．
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)，，求證：當(dāng)時(shí)，；
（3）試問：是否存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，的最小值是3？如果存在，求出實(shí)數(shù)的值；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（1）
（2）構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的最小值大于另一個(gè)函數(shù)的最大值來證明成立。
（3）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上的最小值是3

試題分析：解：（1）當(dāng)時(shí)，，
則，
又是奇函數(shù)，
所以，
因此，；                  4分
（2）證明：令，
當(dāng)時(shí)，注意到，所以 5分
①   當(dāng)時(shí)，注意到，有
；      6分
② 當(dāng)時(shí)，
，   7分
故函數(shù)在上是增函數(shù)，從而有，
所以當(dāng)時(shí)，有，                         8分
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010706112473.png" style="vertical-align:middle;" />是偶函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，同樣有，即，
綜上所述，當(dāng)時(shí)，有；                         9分
（2）證法二：當(dāng)時(shí)，，
求導(dǎo)得，令得，                         5分
于是可得當(dāng)時(shí)，；時(shí)，，
所以在處取得最大值，所以．     6分
又記，當(dāng)時(shí)，有，          7分
求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞增，于是，
所以，在在上總有．               8分
注意到和的偶函數(shù)性質(zhì)，
所以當(dāng)時(shí)，有（）；     9分
（3）當(dāng)時(shí)，，
求導(dǎo)得，令得，          10分
① 當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上是增函數(shù)，故此時(shí)函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，不滿足要求；               11分
② 當(dāng)，即時(shí)，，
所以在區(qū)間上是增函數(shù)，此時(shí)函數(shù)在區(qū)間的最小值為，
令，得，也不滿足要求；                    12分
③ 當(dāng)時(shí)，可得在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，
令，得，滿足要求．                        13分
綜上可得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上的最小值是3．   14分
點(diǎn)評(píng)：解決的關(guān)鍵是根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)于函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系來判定單調(diào)性，進(jìn)而得到最值，屬于基礎(chǔ)題