Question

已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當時，有（其中為自然對數(shù)的底，）．
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)，，求證：當時，；
（3）試問：是否存在實數(shù)，使得當時，的最小值是3？如果存在，求出實數(shù)的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）
（2）構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的最小值大于另一個函數(shù)的最大值來證明成立。
（3）當時，函數(shù)在區(qū)間上的最小值是3

試題分析：解：（1）當時，，
則，
又是奇函數(shù)，
所以，
因此，；                  4分
（2）證明：令，
當時，注意到，所以 5分
①   當時，注意到，有
；      6分
② 當時，
，   7分
故函數(shù)在上是增函數(shù)，從而有，
所以當時，有，                         8分
又因為是偶函數(shù)，故當時，同樣有，即，
綜上所述，當時，有；                         9分
（2）證法二：當時，，
求導得，令得，                         5分
于是可得當時，；時，，
所以在處取得最大值，所以．     6分
又記，當時，有，          7分
求導得，當時，，
所以在上單調(diào)遞增，于是，
所以，在在上總有．               8分
注意到和的偶函數(shù)性質(zhì)，
所以當時，有（）；     9分
（3）當時，，
求導得，令得，          10分
① 當時，，在區(qū)間上是增函數(shù)，故此時函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，不滿足要求；               11分
② 當，即時，，
所以在區(qū)間上是增函數(shù)，此時函數(shù)在區(qū)間的最小值為，
令，得，也不滿足要求；                    12分
③ 當時，可得在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，所以當時，，
令，得，滿足要求．                        13分
綜上可得，當時，函數(shù)在區(qū)間上的最小值是3．   14分
點評：解決的關(guān)鍵是根據(jù)導數(shù)的符號于函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系來判定單調(diào)性，進而得到最值，屬于基礎(chǔ)題