Question

已知圓C₁：x²+（y-1）²=4．
（1）求過點A（2，4）且與圓C₁相切的直線方程；
（2）若圓C₁與圓C₂：x²+y²-2ax-4y+a²-12=0（a＞0）相交，求a的范圍；
（3）斜率為1的直線l與圓C₁交與A，B兩點，且弦AB=2

2

，求直線l的方程．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：計算題,直線與圓

分析：（1）設(shè)過點A（2，4）的直線方程為：x=2或y-4=k（x-2），運用直線與圓相切的條件：d=r，求出k即可；
（2）運用兩圓相交的條件，兩圓的圓心距離介于半徑之差的絕對值和半徑之和間，即可求出a的范圍；
（3）設(shè)直線l：y=x+b，運用直線與圓相交的弦長公式：AB=2

r2-d2

，即可求出直線方程．

解答： 解：（1）設(shè)過點A（2，4）的直線方程為：x=2或y-4=k（x-2）即kx-y+4-2k=0，
由于圓C₁的圓心為（0，1），半徑為2，故x=2與圓相切；
由相切的條件：d=r，得到

|3-2k|

k2+1

=2，解得k=

5

12

，則直線為：5x-12y+38=0．
故所求的直線為：x=2或5x-12y+38=0．
（2）圓C₂的圓心是（a，2），半徑是4，
由相交的條件得，4-2＜

a2+1

＜4+2，由于a＞0，解得

3

＜a＜

35

，
即a的范圍是（

3

，

35

）；
（3）設(shè)直線l：y=x+b，C₁到直線l的距離為d=

|b-1|

2

，
由弦長公式，得AB=2

4-d2

=2

2

，即d=

2

，
則b=3或-1．
故直線l的方程為：y=x+3或y=x-1．

點評：本題考查直線方程與圓的方程，注意直線的斜率不存在的情況，考查直線與圓的位置關(guān)系：相交、相切，圓與圓的位置關(guān)系：相交，以及弦長公式，考查運算能力，屬于中檔題．