Question

（1）求右焦點(diǎn)坐標(biāo)是（2，0），且經(jīng)過點(diǎn)（-2，-）的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）已知橢圓C的方程是+=1（a＞b＞0）．設(shè)斜率為k的直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，AB的中點(diǎn)為M．證明：當(dāng)直線l平行移動(dòng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M在一條過原點(diǎn)的定直線上．
（3）利用（2）所揭示的橢圓幾何性質(zhì)，用作圖方法找出下面給定橢圓的中心，簡要寫出作圖步驟，并在圖中標(biāo)出橢圓的中心．

Answer 1

【答案】分析：（1）先設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)可求得c，進(jìn)而可得a和b的關(guān)系，把點(diǎn)（-2，-）代入橢圓方程，求得b，進(jìn)而根據(jù)a=求得a，橢圓的方程可得．
（2）設(shè)直線l的方程為y=kx+m且橢圓C的交點(diǎn)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），直線方程和橢圓方程聯(lián)立進(jìn)而可得x₁+x₂和y₁+y₂的表達(dá)式，進(jìn)而可得AB中點(diǎn)M的坐標(biāo)進(jìn)而可判定AB的中點(diǎn)M在過原點(diǎn)的直線b²x+a²ky=0上．
（3）作兩條平行直線分別交橢圓于A、B和C、D，并分別取AB、CD的中點(diǎn)M、N，連接直線MN；又作兩條平行直線（與前兩條直線不平行）分別交橢圓于A₁、B₁和C₁、D₁，并分別取A₁B₁、C₁D₁的中點(diǎn)M₁、N₁，連接直線M₁N₁，那么直線MN和M₁N₁的交點(diǎn)O即為橢圓中心．
解答：解：（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1，a＞b＞0，
∴a²=b²+4，即橢圓的方程為+=1．
∵點(diǎn)（-2，-）在橢圓上，
∴+=1．
解得b²=4或b²=-2（舍）．
由此得a²=8，即橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1．

（2）證明：設(shè)直線l的方程為y=kx+m，
與橢圓C的交點(diǎn)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
y=kx+m，
則有+=1．
解得（b²+a²k²）x²+2a²kmx+a²m²-a²b²=0．
∵△＞0，∴m²＜b²+a²k²，
即-＜m＜．
則x₁+x₂=-，y₁+y₂=kx₁+m+kx₂+m=，
∴AB中點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-，）．
∴線段AB的中點(diǎn)M在過原點(diǎn)的直線b²x+a²ky=0上．
（3）解：如圖，作兩條平行直線分別交橢圓于A、B和C、D，并分別取AB、CD的中點(diǎn)M、N，連接直線MN；又作兩條平行直線（與前兩條直線不平行）分別交橢圓于A₁、B₁和C₁、D₁，并分別取A₁B₁、C₁D₁的中點(diǎn)M₁、N₁，連接直線M₁N₁，那么直線MN和M₁N₁的交點(diǎn)O即為橢圓中心．
點(diǎn)評：本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓與直線的關(guān)系．綜合考查了學(xué)生對橢圓性質(zhì)和利用韋達(dá)定理來解決橢圓與直線問題的掌握．