Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是邊長為4正三角形，AA₁⊥平面ABC，AA₁=2

6

，M為A₁B₁的中點．
（Ⅰ）求證：MC⊥AB；
（文科）（Ⅱ）求三棱錐A₁-ABP的體積．
（理科）（Ⅱ）若點P為CC₁的中點，求二面角B-AP-C的余弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,組合幾何體的面積、體積問題,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：計算題,作圖題,證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）取AB的中點N，連結(jié)MN，CN；從而可證CN⊥AB，MN⊥平面ABC，NM⊥AB，從而得證AB⊥平面MNC，從而得證；
（文科）（Ⅱ）三棱錐A₁-ABP的體積可轉(zhuǎn)化為三棱錐P-A₁AB的體積，從而求值；
（理科）（Ⅱ）取AC的中點D，連結(jié)BD，作DE⊥AP于點E，連結(jié)BE；可證∠BED為二面角B-AP-C的平面角，在Rt△BED中求二面角B-AP-C的余弦值．

解答： 解：（Ⅰ）證明：取AB的中點N，連結(jié)MN，CN；
∵底面是正三角形，
∴CN⊥AB，
又∵M為A₁B₁的中點，
∴MN∥AA₁，
又∵AA₁⊥平面ABC，
∴MN⊥平面ABC，
∴NM⊥AB，
又∵MN∩CN=N，MN?平面MNC，CN?平面MNC，
∴AB⊥平面MNC，又∵MC?平面MNC，
∴MC⊥AB．
（文科）（Ⅱ）三棱錐A₁-ABP的體積可轉(zhuǎn)化為三棱錐P-A₁AB的體積，
SA1AB=

1

2

×4×2

6

=4

6

；
h=CN=4×

3

2

=2

3

，
故V=

1

3

×4

6

×2

3

=8

2

．
（理科）（Ⅱ）如圖，取AC的中點D，連結(jié)BD，作DE⊥AP于點E，連結(jié)BE；
∵AA₁⊥平面ABC，BD?平面ABC，
∴AA₁⊥BD，又∵BD⊥AC，
∴BD⊥平面ACP，
∴BD⊥AP，又∵DE⊥AP，
∴AP⊥平面BDE，
∴∠BED為二面角B-AP-C的平面角，
在Rt△BED中，
BD=4×

3

2

=2

3

，
DE=

1

2

×

4 6

16+6

=

2 33

11

，
BE=

12+ 12 11

=

12 11

11

，
故cos∠BED=

DE

BE

=

3

6

．
故二面角B-AP-C的余弦值為

3

6

．

點評：本題考查了學(xué)生的空間想象力及作圖與識圖的能力，同時考查了體積的轉(zhuǎn)化，及垂直的應(yīng)用，屬于難題．