Question

設(shè)x，y滿足約束條件

3x-y-6≤0 x-y+2≥0 x≥0y≥0

，若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為12，則ab的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃

專題：計(jì)算題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：由題意作出其平面區(qū)域，將z=ax+by化為y=-

a

b

x+

z

b

，

z

b

相當(dāng)于直線y=-

a

b

x+

z

b

的縱截距，由幾何意義可得過點(diǎn)A時(shí)取的最大值，從而利用基本不等式求其取值范圍．

解答： 解：由題意作出其平面區(qū)域，

將z=ax+by化為y=-

a

b

x+

z

b

，

z

b

相當(dāng)于直線y=-

a

b

x+

z

b

的縱截距，
則過點(diǎn)A時(shí)取的最大值，
由y=x+2與y=3x-6聯(lián)立解得，x=4，y=6；
則4a+6b=12，
即2a+3b=6≥2

6ab

，
（當(dāng)且僅當(dāng)2a=3b時(shí)，等號(hào)成立）
由2

6ab

≤6，a＞0，b＞0解得，
0＜ab≤

3

2

．
故答案為：0＜ab≤

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了簡(jiǎn)單線性規(guī)劃及基本不等式，作圖要細(xì)致認(rèn)真，屬于中檔題．