Question

如圖：四棱錐中，,,．∥，．．

（Ⅰ）證明: 平面；

（Ⅱ）在線段上是否存在一點(diǎn)，使直線與平面成角正弦值等于，若存在，指出點(diǎn)位置，若不存在，請(qǐng)說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）證明：取線段中點(diǎn)，連結(jié)．

根據(jù)邊角關(guān)系及　得到，

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013060808221781739050/SYS201306080822553798129294_DA.files/image006.png">，且，可得平面。

（Ⅱ）點(diǎn)是線段的中點(diǎn)．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）證明：取線段中點(diǎn)，連結(jié)．

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013060808221781739050/SYS201306080822553798129294_DA.files/image013.png">，所以           1分

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013060808221781739050/SYS201306080822553798129294_DA.files/image016.png">∥，所以，           2分

又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013060808221781739050/SYS201306080822553798129294_DA.files/image019.png">，所以，而

所以．          4分

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013060808221781739050/SYS201306080822553798129294_DA.files/image023.png">，所以　即

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013060808221781739050/SYS201306080822553798129294_DA.files/image006.png">，且

所以平面          6分

（Ⅱ）解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以

所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：

則四點(diǎn)坐標(biāo)分別為：

；；；       8分

設(shè)；平面的法向量．

因?yàn)辄c(diǎn)在線段上，所以假設(shè)，所以 

即，所以．        9分

又因?yàn)槠矫?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013060808221781739050/SYS201306080822553798129294_DA.files/image033.png">的法向量．

所以，所以

所以         10分

因?yàn)橹本�與平面成角正弦值等于，所以．

所以　即．所以點(diǎn)是線段的中點(diǎn)． 12分

考點(diǎn)：本題主要考查立體幾何中的平行關(guān)系、垂直關(guān)系，空間向量的應(yīng)用。

點(diǎn)評(píng)：中檔題，立體幾何題，是高考必考內(nèi)容，往往涉及垂直關(guān)系、平行關(guān)系、角、距離、體積的計(jì)算。在計(jì)算問題中，有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法，要遵循“一作、二證、三計(jì)算”的步驟。（1）注意轉(zhuǎn)化成了平面幾何問題；（2）利用空間向量，省去繁瑣的證明，也是解決立體幾何問題的一個(gè)基本思路。對(duì)計(jì)算能力要求較高。