Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面A₁BC⊥側面A₁ABB₁．
（Ⅰ）求證：AB⊥BC；
（Ⅱ）若AA₁=AC=a，直線AC與平面A₁BC所成的角為θ，二面角A₁-BC-A的大小為φ，求證：θ+φ=

π

2

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲證AB⊥BC，而AB?側面A₁ABB₁，可先證BC⊥側面A₁ABB₁，過點A在平面A₁ABB₁內(nèi)作AD⊥A₁B于D，根據(jù)面面垂直的性質可知AD⊥平面A₁BC，則AD⊥BC，又AA₁⊥BC，AA₁∩AD=A，滿足定理所需條件；
（Ⅱ）連接CD，根據(jù)線面所成角的定義可知∠ACD就是直線AC與平面A₁BC所成的角，則∠ABA₁就是二面角A₁-BC-A的平面角，即∠ACD=θ，∠ABA₁=β．在Rt△A₁AB中，∠AA₁D+φ=∠AA₁B+φ=

π

2

，即可得到結論．

解答：解：（Ⅰ）證明：如圖，過點A在平面A₁ABB₁內(nèi)作AD⊥A₁B于D，
則由平面A₁BC⊥側面A₁ABB₁，且平面A₁BC∩側面A₁ABB₁=A₁B，
得AD⊥平面A₁BC．又BC?平面A₁BC
所以AD⊥BC．
因為三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，
則AA₁⊥底面ABC，所以AA₁⊥BC．
又AA₁∩AD=A，從而BC⊥側面A₁ABB₁，
又AB?側面A₁ABB₁，
故AB⊥BC．
（Ⅱ）連接CD，則由（Ⅰ）知∠ACD就是直線AC與平面A₁BC所成的角，
∠ABA₁就是二面角A₁-BC-A的平面角，即∠ACD=θ，∠ABA₁=β．
于是在Rt△ADC中，sinθ=

AD

AC

=

AD

a

，在Rt△ADA₁中，sin∠AA₁D=

AD

AA1

=

AD

a

，
∴sinθ=sin∠AA₁D，由于θ與∠AA₁D都是銳角，所以θ=∠AA₁D．
又由Rt△A₁AB知，∠AA₁D+φ=∠AA₁B+φ=

π

2

，故θ+φ=

π

2

．

點評：考查線面所成角與線面垂直的性質定理以及二面角的求法．涉及到的知識點比較多，知識性技巧性都很強．