Question

已知函數(shù)f（x）=ae^x，g（x）=lnx-lna，其中a為常數(shù)，且函數(shù)y=f（x）和y=g（x）的圖象在其與兩坐標軸的交點處的切線相互平行．
（1）求實數(shù)a的值；
（2）若關于x的不等式

x-m

g(x)

＞

x

對任意不等于1的正實數(shù)都成立，求實數(shù)m的取值集合．

Answer 1

分析：（1）利用導數(shù)的幾何意義，分別求兩函數(shù)在與兩坐標軸的交點處的切線斜率，令其相等解方程即可得a值
（2）不等式

x-m

g(x)

＞

x

對任意不等于1的正實數(shù)都成立，即當x＞1時m＜x-

x

lnx恒成立；當0＜x＜1時得m＞x-

x

lnx恒成立．構(gòu)造新函數(shù)φ(x)=x-

x

lnx，求其在[1，+∞）的最小值，在（0，1]上的最大值即可

解答：解：（1）f′(x)=aex，g′(x)=

1

x

．
y=f（x）的圖象與坐標軸交于點（0，a）；y=g（x）的圖象與坐標軸交于點（a，0），
∴f′（0）=g′（a）．
∴a=

1

a

．
∵a＞0，∴a=1
∴g（x）=lnx．
（2）①當x＞1時，由

x-m

lnx

＞

x

得m＜x-

x

lnx恒成立．
令φ(x)=x-

x

lnx，則φ′(x)=

2 x -2-lnx

2 x

．
令h(x)=2

x

-2-lnx，則h′(x)=

1

x

(1-

1

x

)＞0，
∴h（x）在[1，+∞）上遞增．
∴?x＞1，h（x）＞h（1）=0．
∴φ′（x）＞0．
∴φ（x）在[1，+∞）上遞增．
∴m≤φ（1）=1．
②當0＜x＜1時，由

x-m

lnx

＞

x

得m＞x-

x

lnx即m＞φ（x）恒成立．
同①可得φ（x）在（0，1]上遞增．
∴m≥φ（1）=1．
綜合①②得m=1．

點評：本題綜合考查了導數(shù)的幾何意義及導數(shù)在解決恒成立問題、最值問題中的應用，解題時要善于構(gòu)造新函數(shù)解決不等式恒成立問題，計算要認真細致