已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2-3x在x=±1處取得極值.

   (Ⅰ)求函數(shù)f(x)的解析式;

  (Ⅱ)求證:對(duì)于區(qū)間[-1,1]上任意兩個(gè)自變量的值x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤4;

   (Ⅲ)若過(guò)點(diǎn)A(1,m)(m≠-2)可作曲線y=f(x)的三條切線,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

(I)f(x)=x3-3x(II)證明略(III)實(shí)數(shù)a的取值范圍是-3<m<-2


解析:

(I)f′(x)=3ax2+2bx-3,依題意,f′(1)=f′(-1)=0,

        即…………………………………………2分

        解得a=1,b=0.

        ∴f(x)=x3-3x.……………………………………………………4分

   (II)∵f(x)=x3-3x,∴f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),

當(dāng)-1<x<1時(shí),f′(x)<0,故f(x)在區(qū)間[-1,1]上為減函數(shù),

fmax(x)=f(-1)=2,fmin(x)=f(1)=-2……………………………………6分

∵對(duì)于區(qū)間[-1,1]上任意兩個(gè)自變量的值x1,x2

都有|f(x1)-f(x2)|≤|fmax(x) -fmin(x)|

|f(x1)-f(x2)|≤|fmax(x)-fmin(x)|=2-(-2)=4………………………………8分

   (III)f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),

         ∵曲線方程為y=x3-3x,∴點(diǎn)A(1,m)不在曲線上.

設(shè)切點(diǎn)為M(x0,y0),則點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足

,故切線的斜率為

整理得.

∵過(guò)點(diǎn)A(1,m)可作曲線的三條切線,

∴關(guān)于x0方程=0有三個(gè)實(shí)根.……………………10分

設(shè)g(x??0)= ,則g′(x0)=6,

由g′(x0)=0,得x0=0或x0??=1.

∴g(x0)在(-∞,0),(1,+∞)上單調(diào)遞增,在(0,1)上單調(diào)遞減.

∴函數(shù)g(x0)= 的極值點(diǎn)為x0=0,x0=1………………12分

∴關(guān)于x0方程=0有三個(gè)實(shí)根的充要條件是

,解得-3<m<-2.

故所求的實(shí)數(shù)a的取值范圍是-3<m<-2.……………………14分

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=a-
12x+1

(1)求證:不論a為何實(shí)數(shù)f(x)總是為增函數(shù);
(2)確定a的值,使f(x)為奇函數(shù);
(3)當(dāng)f(x)為奇函數(shù)時(shí),求f(x)的值域.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)
a-x  ,x≤0
1  ,0<x≤3
(x-5)2-a,x>3
(a>0且a≠1)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q(8,6).
(1)求a的值,并在直線坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)f(x)的大致圖象;
(2)求函數(shù)f(t)-9的零點(diǎn);
(3)設(shè)q(t)=f(t+1)-f(t)(t∈R),求函數(shù)q(t)的單調(diào)遞增區(qū)間.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=a-
1
2x+1
,若f(x)為奇函數(shù),則a=(  )
A、
1
2
B、2
C、
1
3
D、3

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
a(x-1)x2
,其中a>0.
(I)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(II)若直線x-y-1=0是曲線y=f(x)的切線,求實(shí)數(shù)a的值;
(III)設(shè)g(x)=xlnx-x2f(x),求g(x)在區(qū)間[1,e]上的最小值.(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=a-
12x-1
,(a∈R)
(1)求f(x)的定義域;
(2)若f(x)為奇函數(shù),求a的值;
(3)考察f(x)在定義域上單調(diào)性的情況,并證明你的結(jié)論.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案