Question

某企業(yè)決定從甲、乙兩種產(chǎn)品中選擇一種進行投資生產(chǎn)，已知投資生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)如下（單位：萬美元）：

	年固定成本	每件產(chǎn)品成本	每件產(chǎn)品銷售價	每年最多生產(chǎn)的件數(shù)
甲產(chǎn)品	30	a	10	200
乙產(chǎn)品	50	8	18	120

其中年固定成本與生產(chǎn)的件數(shù)無關(guān)，a為常數(shù)，且4≤a≤8．另外年銷售x件乙產(chǎn)品時需上交0.05x²萬美元的特別關(guān)稅．
（1）寫出該廠分別投資生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品的年利潤y₁，y₂與生產(chǎn)相應(yīng)產(chǎn)品的件數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）分別求出投資生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的最大利潤；
（3）如何決定投資可獲得最大年利潤．

Answer 1

考點：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用,簡單線性規(guī)劃

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)條件設(shè)出變量，即可建立生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品的年利潤y₁，y₂與生產(chǎn)相應(yīng)產(chǎn)品的件數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，即可分別求出投資生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的最大利潤；
（3）比較兩個函數(shù)的大小關(guān)系，即可決定投資可獲得最大年利潤．

解答： 解　（1）由題意，y₁=（10-a）x-30，0≤x≤200，x∈N；
y₂=（18-8）x-50-0.05x²=10x-50-0.05x²，0≤x≤120，x∈N．
（2）∵4≤a≤8，∴10-a＞0，
故y₁=（10-a）x-30，0≤x≤200是增函數(shù)．
所以x=200時，y₁有最大值1 970-200a．
y₂=10x-50-0.05x²=-0.05（x-100）²+450．
x∈[0，120]，且∈N，
∴當(dāng)x=100時，y₂取最大值450．
∴投資生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的最大利潤分別為（1 970-200a）萬美元和450萬美元．
（3）令1 970-200a=450，解得a=7.6，因為函數(shù)f（a）=1 970-200a是定義域上的減函數(shù)，
所以當(dāng)4≤a≤7.6時，投資甲產(chǎn)品；
當(dāng)7.6＜a≤8時，投資乙產(chǎn)品；
當(dāng)a=7.6時，投資甲產(chǎn)品、乙產(chǎn)品均可．

點評：本題主要考查函數(shù)的應(yīng)用問題，根據(jù)條件建立合適的數(shù)學(xué)模型，利用函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．