Question

給出下列命題：
①?α，β∈R，使cos（α+β）=cosα+sinβ；
②?a＞0，函數(shù)f（x）=ln²x+lnx-a有零點(diǎn)；
③?m∈R，使f（x）=（m-1）•xm2-4m+3是冪函數(shù)，且在（0，+∞）上遞減；
④若函數(shù)f（x）=|2^x-1|，則?x₁，x₂∈[0，1]且x₁＜x₂，使得f（x₁）＞f（x₂）．
其中是假命題的

 

（填序號(hào)）．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：①令α=0，β=0，滿足cos（α+β）=cosα+sinβ；
②令f（x）=0得a=ln²x+lnx=(lnx+

1

2

)2-

1

4

≥-

1

4

，從而可判斷②的正誤；
③?m=2，使得f（x）=x^-1是冪函數(shù)，在（0，+∞）上遞減；
④利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與最值，可得0≤x≤1時(shí)，f（x）=|2^x-1|=2^x-1為[0，1]上的增函數(shù)，從而可判斷④的正誤．

解答： 解：①?α=0，β=0，使cos（α+β）=cosα+sinβ，故①正確；
②令f（x）=ln²x+lnx-a=0得：a=ln²x+lnx=(lnx+

1

2

)2-

1

4

≥-

1

4

，
∴當(dāng)a≥-

1

4

時(shí)，函數(shù)f（x）=ln²x+lnx-a有零點(diǎn)，
∴?a＞0，函數(shù)f（x）=ln²x+lnx-a有零點(diǎn)，正確；
③?m=2∈R，使f（x）=（2-1）•x22-4×2+3=x^-1是冪函數(shù)，且在（0，+∞）上遞減，故③正確；
④∵0≤x≤1時(shí)，1≤2^x≤2，0≤2^x-1≤1，
∴f（x）=|2^x-1|=2^x-1為[0，1]上的增函數(shù)，
∴x₁，x₂∈[0，1]且x₁＜x₂時(shí)，f（x₁）＜f（x₂），故④錯(cuò)誤．
故答案為：④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查函數(shù)的零點(diǎn)、冪函數(shù)的概念及應(yīng)用，考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與最值，屬于中檔題．