Question

【題目】如圖，正方形與梯形所在的平面互相垂直，，，，，為的中點(diǎn).

（1）求證：平面；

（2）求證：平面平面；

（3）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明過(guò)程詳見解析；（2）證明過(guò)程詳見解析；（3）.

【解析】

試題本題主要考查中位線、平行四邊形的證明、線面平行、線面垂直、面面垂直、二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力、計(jì)算能力.第一問(wèn)，作出輔助線MN，N為中點(diǎn)，在中，利用中位線得到，且，結(jié)合已知條件，可證出四邊形ABMN為平行四邊形，所以，利用線面平行的判定，得∥平面；第二問(wèn)，利用面面垂直的性質(zhì)，判斷面，再利用已知的邊長(zhǎng)，可證出，則利用線面垂直的判定得平面BDE，再利用面面垂直的判定得平面平面；第三問(wèn)，可以利用傳統(tǒng)幾何法證明二面角的平面角，也可以利用向量法建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面BEC和平面ADEF的法向量，利用夾角公式計(jì)算即可.

（1）證明：取中點(diǎn)，連結(jié)．

在△中，

分別為的中點(diǎn)，所以∥，且

．由已知∥，，所以

∥，且．所以四邊形為平行四邊形，

所以∥．

又因?yàn)?/span>平面，且平面，

所以∥平面．

（2）證明：在正方形中，．又因?yàn)?/span>

平面平面，且平面平面，

所以平面．所以．

在直角梯形中，，，可得．

在△中，，所以．

所以平面．

又因?yàn)?/span>平面，所以平面平面．

（3）（方法一）延長(zhǎng)和交于．

在平面內(nèi)過(guò)作于,連結(jié)．由平面平面，

∥，，平面平面=，

得，于是．

又，平面，所以，

于是就是平面與平面所成銳二面角的

平面角.

由，得.

又，于是有.

在中，.

所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為．

（方法二）由（2）知平面，且．

以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系．

易得.平面的一個(gè)法向量為.設(shè)為平面的一個(gè)法向量，因?yàn)?/span>，所以，令，得．

所以為平面的一個(gè)法向量．

設(shè)平面與平面所成銳二面角為．

則．所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為．