Question

設(shè)f（x）=3^x，且f（a+2）=18，g（x）=3^ax-4^x（x∈R）．
（1）求g（x）的解析式；
（2）判斷g（x）在[0，1]上的單調(diào)性并用定義證明；
（3）設(shè)M={m|方程g（t）-m=0在[-2，2]上有兩個(gè)不同的解}，求集合M．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專題：計(jì)算題,作圖題,證明題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由題意得3^a+2=18，從而可得3^a=2；從而可得g（x）=3^ax-4^x=2^x-4^x，
（2）先判斷，后證明，用定義法證明單調(diào)性一般可以分為五步，取值，作差，化簡變形，判號(hào)，下結(jié)論；
（3）方程可化為2^t-4^t-m=0，令k=2^t，t∈[-2，2]，則k∈[

1

4

，4]；從而可得m=k-k²=-（k-

1

2

）²+

1

4

；從而求集合M．

解答： 解：（1）∵f（x）=3^x，且f（a+2）=18；
∴3^a+2=18，3^a=2；
∴g（x）=3^ax-4^x=2^x-4^x，
（2）g（x）在[0，1]上單調(diào)遞減，證明如下：
設(shè)0≤x₁≤x₂≤1，
g（x₂）-g（x₁）=2x2-4x2-2x1+4x1
=（2x2-2x1）（1-2x1-2x2）；
∵0≤x₁≤x₂≤1，
∴2x2＞2x1，1-2x1-2x2＜0；
∴（2x2-2x1）（1-2x1-2x2）＜0；
∴g（x₂）-g（x₁）＜0，
∴g（x）在[0，1]上單調(diào)遞減；
（3）方程可化為2^t-4^t-m=0，
令k=2^t，t∈[-2，2]，則k∈[

1

4

，4]；
則方程k-k²-m=0在[

1

4

，4]內(nèi)有兩個(gè)不同的解；
m=k-k²=-（k-

1

2

）²+

1

4

；
由圖知m∈[

3

16

，

1

4

）時(shí)，方程有兩個(gè)不同解；
故M=[

3

16

，

1

4

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及換元法的應(yīng)用，同時(shí)考查了方程的根與函數(shù)的關(guān)系，屬于中檔題．