【題目】已知點F(1,0),點A是直線l1:x=﹣1上的動點,過A作直線l2 , l1⊥l2 , 線段AF的垂直平分線與l2交于點P.
(Ⅰ)求點P的軌跡C的方程;
(Ⅱ)若點M,N是直線l1上兩個不同的點,且△PMN的內(nèi)切圓方程為x2+y2=1,直線PF的斜率為k,求 的取值范圍.
【答案】解:(Ⅰ)∵點F(1,0),點A是直線l1:x=﹣1上的動點,過A作直線l2 , l1⊥l2 , 線段AF的垂直平分線與l2交于點P, ∴點P到點F(1,0)的距離等于它到直線l1的距離,
∴點P的軌跡是以點F為焦點,直線l1:x=﹣1為準(zhǔn)線的拋物線,
∴曲線C的方程為y2=4x.
(Ⅱ)設(shè)P(x0 , y0),點M(﹣1,m),點N(﹣1,n),
直線PM的方程為:y﹣m= (x+1),
化簡,得(y0﹣m)x﹣(x0+1)y+(y0﹣m)+m(x0+1)=0,
∵△PMN的內(nèi)切圓的方程為x2+y2=1,
∴圓心(0,0)到直線PM的距離為1,即 =1,
∴ = ,
由題意得x0>1,∴上式化簡,得(x0﹣1)m2+2y0m﹣(x0+1)=0,
同理,有 ,
∴m,n是關(guān)于t的方程(x0﹣1)t2+2y t﹣(x0+1)=0的兩根,
∴m+n= ,mn= ,
∴|MN|=|m﹣n|= = ,
∵ ,|y0|=2 ,
∴|MN|= =2 ,
直線PF的斜率 ,則k=| |= ,
∴ = = ,
∵函數(shù)y=x﹣ 在(1,+∞)上單調(diào)遞增,
∴ ,
∴ ,
∴0< < .
∴ 的取值范圍是(0, )
【解析】(Ⅰ)點P到點F(1,0)的距離等于它到直線l1的距離,從而點P的軌跡是以點F為焦點,直線l1:x=﹣1為準(zhǔn)線的拋物線,由此能求出曲線C的方程.(Ⅱ)設(shè)P(x0 , y0),點M(﹣1,m),點N(﹣1,n),直線PM的方程為(y0﹣m)x﹣(x0+1)y+(y0﹣m)+m(x0+1)=0,△PMN的內(nèi)切圓的方程為x2+y2=1,圓心(0,0)到直線PM的距離為1,由x0>1,得(x0﹣1)m2+2y0m﹣(x0+1)=0,同理, ,由此利用韋達(dá)定理、弦長公式、直線斜率,結(jié)合已知條件能求出 的取值范圍.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】高三年級有500名學(xué)生,為了了解數(shù)學(xué)科的學(xué)習(xí)情況,現(xiàn)從中隨機(jī)抽出若干名學(xué)生在一次測試中的數(shù)學(xué)成績,制成如下頻率分布表:
分組 | 頻數(shù) | 頻率 |
12 | ||
4 | ||
合計 |
根據(jù)上面圖表,求處的數(shù)值
在所給的坐標(biāo)系中畫出的頻率分布直方圖;
根據(jù)題中信息估計總體平均數(shù),并估計總體落在中的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】拋物線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形常被稱為阿基米德三角形,阿基米德三角形有一些有趣的性質(zhì),如:若拋物線的弦過焦點,則過弦的端點的兩條切線的交點在其準(zhǔn)線上.設(shè)拋物線 >,弦AB過焦點,△ABQ為其阿基米德三角形,則△ABQ的面積的最小值為
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將函數(shù)的圖象向右平移個單位,再將所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,則下列關(guān)于函數(shù)y=g(x)的說法正確的序號是____.
(1)當(dāng)時,函數(shù)有最小值; (2)圖象關(guān)于直線對稱;
(3)圖象關(guān)于點對稱; (4)在上是增函數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(0<φ<π)
(1)當(dāng)φ時,在給定的坐標(biāo)系內(nèi),用“五點法”做出函數(shù)f(x)在一個周期內(nèi)的圖象;
(2)若函數(shù)f(x)為偶函數(shù),求φ的值;
(3)在(2)的條件下,求函數(shù)在[﹣π,π]上的單調(diào)遞減區(qū)間.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=|x﹣a|+2|x+b|(a>0,b>0)的最小值為1.
(1)求a+b的值;
(2)若 恒成立,求實數(shù)m的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知公比不為1的等比數(shù)列{an}的前5項積為243,且2a3為3a2和a4的等差中項.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式an;
(2)若數(shù)列{bn}滿足bn=bn﹣1log3an+2(n≥2且n∈N*),且b1=1,求數(shù)列 的前n項和Sn .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了響應(yīng)黨的十九大所提出的教育教學(xué)改革,某校啟動了數(shù)學(xué)教學(xué)方法的探索,學(xué)校將髙一年級部分生源情況基本相同的學(xué)生分成甲、乙兩個班,每班40人,甲班按原有傳統(tǒng)模式教學(xué),乙班實施自主學(xué)習(xí)模式.經(jīng)過一年的教學(xué)實驗,將甲、乙兩個班學(xué)生一年來的數(shù)學(xué)成績?nèi)∑骄鶖?shù),兩個班學(xué)生的平均成績均在[50,100],按照區(qū)間[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]進(jìn)行分組,繪制成如下頻率分布直方圖,規(guī)定不低于80分(百分制)為優(yōu)秀,
,
(I)完成表格,并判斷是否有90%以上的把握認(rèn)為“數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀與教學(xué)改革有關(guān)”
〔Ⅱ)從乙班[70,80),[80,90),[90,100]分?jǐn)?shù)段中,按分層抽樣隨機(jī)抽取7名學(xué)生座談,
從中選三位同學(xué)發(fā)言,記來自[80,90)發(fā)言的人數(shù)為隨機(jī)變量x,求x的分布列和期望.
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